北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高二下学期数学统练试题（三）

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北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高二下学期数学统练试题（三）

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知函数，则（       ）

A． B． C． D．

2．设是公比为的等比数列，且．若为递增数列，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

3．甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（       ）

A．0.5 B．0.3 C．0.15 D．0.6

4．已知为等差数列，首项，公差，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知随机变量X服从正态分布，若，则（       ）

A． B． C． D．

6．用数字1，2，3排成一个四位数，要求每个数字至少用一次，则不同的四位数有（       ）

A．30个 B．36个 C．60个 D．72个

7．袋子里有个红球和个黄球，从袋子里有放回地随机抽取个球，用表示取到红球的个数，则（       ）

A． B． C． D．

8．随机变量的分布列如下，且，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

9．已知数列为等比数列，给出下列结论：

①；

②若，，则；

③当时，；

④当时，.

其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③

10．已知函数，关于函数给出下列命题：

①函数为偶函数；             ②函数在区间单调递增；

③函数存在两个零点；       ④函数存在极大值和极小值．

正确命题的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

11．若的展开式中的常数项为，则常数的值为___________.

12．记为等差数列的前项和，若，，则______．

13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____．

14．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入100粒小球，则落入2号格的小球大约有______粒．

15．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______．

16．小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；

(2)将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为，求的分布列和数学期望．

(3)如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入．并说明理由．

17．新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.

（1）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率（精确到0.01）；

（2）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求X的分布列和数学期望；

（3）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由.

18．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)当时，恒成立，求的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用求导公式直接计算作答.

【详解】

因函数，所以.

故选：D

2．C

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质可知：当且是递增数列时，．

【详解】

解：，且是递增数列，

；又，，即．

故选：C．

3．D

【解析】

【分析】

根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】

解：记事件为“在第一个路口遇到红灯”，则，

记事件为“在第二个路口遇到红灯”，则，

故.

故选：D.

4．D

【解析】

【分析】

首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；

【详解】

解：因为首项，公差，所以，

因为，所以，解得

故选：D

5．A

【解析】

【分析】

利用对称性可得结合条件可求，再由 求解.

【详解】

因为随机变量服从正态分布，

由对称性可知，，

又，

所以，

故.

故选：A.

6．B

【解析】

【分析】

根据题意4位数种有2个数字相同，先选相同的数字，再排列四个数字即可.

【详解】

解：由题意得：4位数中有2个数字相同，

从1，2，3中选一个数作为相同的数字有个，

然后从4个位置选2个位置，排剩余的2个数，有个，

最后两个位置放入相同的数有个，

故共有个.

故选：B.

7．B

【解析】

【分析】

分析可知，利用二项分布的方差公式可求得.

【详解】

袋子里有个红球和个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为，

所以，，因此，.

故选：B.

8．C

【解析】

【分析】

根据分布列的性质结合期望可求得、的值，再利用方差公式可求得结果.

【详解】

由已知可得，解得，

所以，.

故选：C.

9．D

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质可判断①； 由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.

【详解】

设等比数列的公比为

对于①. 则，

所以，故①正确.

对于②. 由题意，所以不正确，所以②不正确.

对于③.

当且仅当时，取得等号. 故③正确

对于④. 当时，，则，故④不正确

故选：D

10．C

【解析】

【分析】

利用函数奇偶性可判断①；利用导数求解函数的单调区间可判断②；利用导数结合零点存在定理可判断③，利用③的求解结果，可判断④.

【详解】

①：定义域为，则函数为偶函数，故①正确；

②：当时，令，则，

由解得,

则当时，单调递增，

由及知，，即对恒成立，

则函数在区间单调递增，故②正确；

③：由②可知，在单调递增，单调递减，

又，，，

由零点存在定理知，，，使得，

则在单调递减，单调递增，单调递减．

又，，，

由零点存在定理可知，在上有两个零点，

又由为偶函数可知，其在上存在四个零点，故③错误；

④：由③可知为极小值，为极大值，

又由偶函数可知，为极小值，为极大值，故④正确．

故选：C．

11．

【解析】

【分析】

先求出展开式的通项，令的指数位置等于得的值即可求出常数项，令常数项等于，解方程即可求解.

【详解】

展开式的通项为，

令，可得，

所以常数项为，

解得：，

故答案为：.

12．7

【解析】

【分析】

根据给定条件可得公差，再利用求出即可计算作答.

【详解】

依题意，等差数列的公差，由得，解得，

所以.

故答案为：7

13．

【解析】

【分析】

由函数在上单调递增，得在上恒成立，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

由题意，函数，则，

因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，

当时，满足；

当，，解得.

综上，实数的取值范围是.

故答案为：

14．16

【解析】

【分析】

设，分析出，从而求解时的概率即可.

【详解】

解：设“向右下落”，“向左下落”，且，

设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以,

于是，

所以，

故投入100粒小球，则落入2号格的小球大约有粒.

故答案为：16.

15．     0.4##     0.3##

【解析】

【分析】

合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率.

【详解】

设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，

则，，，，，，

，

由全概率公式得：

；

如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：

.

故答案为：0.4；0.3

16．(1)0.4；

(2)分布列见解析，1.2；

(3)186元，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图求出骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率即可估计作答.

（2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率并求出期望作答.

（3）利用频率分布直方图求出骑手每天送单的平均数即可计算作答.

(1)

由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，

所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4.

(2)

的可能值为0，1，2，3，依题意，，，

，，

，，

所以的分布列为：

期望.

(3)

由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：，

因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）.

17．（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

（1）由样本数据可知2015年随机选取1人为女婴的概率为；（2）2014年到2018年中，性别比高于107的有2年，可知的可能取值为，所以按照超几何分布求概率；（3）这是一个开放性的试题，可以从样本数据多少对实验真实性的影响说明，或是性别比的大小判断.

【详解】

解：（1）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件，

则

.

（2）的可能取值为.

，

，

，

所以的分布列为

所以的数学期望.

（3）答案一：可以否定.从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.

答案二：不能否定.尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.

答案三：无法判断.由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断.

（注：1.其余答案，酌情给分.2.如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体.）

【点睛】

本题考查超几何分布，数据分析，开放式的统计分析，重点考查读懂题意，抽象概括能力，属于中档题型.

18．(1)；

(2)的单增区间为，单减区间为；

(3)

【解析】

【分析】

（1）直接计算，求导计算，写出切线方程即可；

（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；

（3）先根据必要性得到，再证明当时，，结合（2）中单调性证得，即满足充分性，即可求解.

(1)

，当时，，，，，

故曲线在点处的切线方程为，即；

(2)

易得定义域为，当时，，令，或，

当或时，单调递减；当或时，单调递增；

故的单增区间为，单减区间为；

(3)

“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.

当，时，，令，

由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，

即，所以的取值范围是.