(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)07《二次函数与面积问题》（2份打包，教师版+学生版）

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第7讲    二次函数与面积问题如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点并与轴交于点，两点，且点坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与轴交于点，顶点为点，求的面积．注：抛物线的顶点坐标是，解：（1）抛物线经过点与点，解得：抛物线的解析式为：（2），过点作轴于点，过点作轴交直线于点，过点作轴叫直线于点，如图所示： 利用宽、高原理求“两定一动”型三角形面积，示意图如图，在△ABC中，三角形的一个顶点在抛物线上(一动点)，另两个顶点是定点(两定点)，则可以将△ABC的面积转化为S△AQC＋S△AQB＝AQ·(xQ－xC)＋AQ·(xB－xQ)＝AQ·(xB－xC)．故求△ABC面积的最大值就转化为求线段AQ的最大值，实质就是类型之一中线段的最值问题．1、如图,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求抛物线的解析式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标.解:(1)因为B(2,t)在直线y=x上,所以t=2.所以点B的坐标为(2,2).因为抛物线经过A(,0),B(2,2)两点,所以解得所以抛物线的解析式是y=2x2-3x.(2)如图,过点C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过点B作BF⊥CD于点F,因为点C是抛物线上第四象限的点,所以设C(m,2m2-3m),则E(m,0),D(m,m),所以OE=m,BF=2-m,CD=m-(2m2-3m)=-2m2+4m.所以S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD·OE+CD·BF=CD·(OE+BF)=(-2m2+4m)(m+2-m)=-2m2+4m.因为△OBC的面积为2,所以-2m2+4m=2,解得m1=m2=1.所以点C的坐标为(1,-1).【变式训练1-1】如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点 A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C;(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D使S△ABC=S△ABD?若存在请求出点D坐标;若不存在请说明理由.解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),所以解得，所以抛物线的解析式是y=-x2+x+2.(2)存在.理由如下:由题意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),所以AB=5,OC=2,所以S△ABC=AB·OC=×5×2=5.因为S△ABC=S△ABD,所以S△ABD=×5=.设D(x,y),所以AB·|y|=×5|y|=,解得|y|=3.当y=3时,由-x2+x+2=3,解得x1=1,x2=2,此时点D的坐标为(1,3)或(2,3);当y=-3时,由-x2+x+2=-3,解得x1=5,x2=-2(不合题意,舍去),此时点D的坐标为(5,-3).综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,-3). 2、如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称.(1)求点A,B,C的坐标;(2)求直线BD的解析式;(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P,使△PBD的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)解方程x2-x-2=0,得x1=-1,x2=4.所以点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0).当x=0时,y=-2,所以点C的坐标为(0,-2).(2)因为点D与点C关于x轴对称,所以点D的坐标为(0,2).设直线BD的解析式为y=kx+b,则解得所以直线BD的解析式为y=-x+2.(3)存在.理由如下:如图,作PE∥y轴交BD于E,设P（m,m2-m-2）,则E（m,-m+2）,所以PE=-m+2-（m2-m-2）=-m2+m+4.所以S△PBD=PE·(xB-xD)=×（-m2+m+4）×4=-m2+2m+8=-(m-1)2+9.因为-1<0,所以m=1时,△PBD的面积最大,面积的最大值为9.所以点P的坐标为(1,-3). 【变式训练2-1】如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求此抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．解.(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得解得∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2.(2)设D点的横坐标为t(0<t<4)，则D点的纵坐标为－t2＋t－2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝x－2.∴E点的坐标为(t，t－2)．∴DE＝－t2＋t－2－(t－2)＝－t2＋2t.∴S△DCA＝×(－t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4.∴当t＝2时，△DCA面积最大．∴D(2，1)．　    3、如图，抛物线过轴上两点，，且与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若为线段上一个动点，过点作平行于轴交抛物线于点．①是否存在这样的点，使得四边形恰为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．②当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标及四边形面积的最大值．解：（1）因抛物线过轴上两点，故设抛物线解析式为：．又； （2）如图2，设直线的解析式为．，，，解得，，则直线的函数关系式为．设点的横坐标为，则，．①若四边形为平行四边形，则即△，此方程无实数根，不存在这样的点，使得四边形恰为平行四边形．②，，当时， 最大值此时，，．    【变式训练3-1】 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过、画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点在轴正半轴上，且，求的长；（3）若为线段上的一个动点，过点做平行于轴交抛物线于点，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标及四边形面积的最大值？【分析】（1）先根据点的特点，设成交点式，用待定系数法求抛物线的解析式，（2）设出点的坐标，表示出，，由，求出即可；（3）把四边形分成，梯形，，分别求出面积，确定出函数解析式即可．解：（1）抛物线与轴交于、两点，设抛物线解析式为，抛物线与轴交于点，，，抛物线解析式为，（2）点在轴正半轴上，设点，，，，，，，；（3）如图，为线段上的一个动点，设，过点做平行于轴交抛物线于点，，，，，，，，，当时，面积最大，最大值为4，1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，，连接，求的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析式为，将代入可得，；（2）连接，，，设，，，，，，当时，的最大值为；（3）存在，设点的坐标为，过作对称轴的垂线，垂足为，则，，，，在中，，，或（舍，，，，连接，在中，，，，在以为圆心，为半径的圆与轴的交点上，此时，，设，为圆的半径，，，，或，综上所述：点坐标为，或．2、如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标．(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意联立整理得2x2＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.∵a≠0，∴a＞－且a≠0.令x＝0, 得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得解得故直线MA为y＝－x＋a.联立解得∴N.由于P点是N点关于y轴的对称点，因此P，代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．∴A，C，M，∴AC＝.∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝AC.|xP|－AC.|xD|＝××(3－1)＝.(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N，故Q1代入y＝－x2－2x＋a，得＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q1.②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，而N，A(0，a)，C(0，－a)，故Q2.代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2－a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q2.∴当点Q的坐标为或时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．1、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－3，0)和点B，交y轴于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点P在抛物线上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标．解：(1)把A(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得故该抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴B(1，0)．∵S△AOP＝4S△BOC，∴×3×|－x2－2x＋3|＝4××1×3.整理，得(x＋1)2＝0或x2＋2x－7＝0，解得x＝－1或x＝－1±2 .则符合条件的点P的坐标为(－1，4)或(－1＋2 ，－4)或(－1－2 ，－4)．2、如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值．  解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．(2)过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图所示．设直线BD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将(3，0)，(1，4)分别代入y＝mx＋n，得解得∴直线BD的解析式为y＝－2x＋6.∵点F的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，∴点F1的坐标为(x，－2x＋6)，∴FF1＝－x2＋2x＋3－(－2x＋6)＝－x2＋4x－3，∴S△BDF＝FF1·(xB－xD)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∵－1＜0，∴当x＝2时，S△BDF取得最大值，最大值为1.