北师大版初中数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

北师大版初中数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》单元测试卷

考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在菱形中，，，则

A.  B.  C.  D.

3. 如图，点在菱形的边上，点在边的延长线上，连接，，对于下列条件：，只选取其中一条添加，不能确定的是   

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，点是斜边的中点，那么的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点不包括端点，过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为，则该直线的函数表达式是

A.
B.
C.
D.

7. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出

A. 正方形纸片的面积 B. 四边形的面积
C. 的面积 D. 的面积

8. 下列说法正确的是

A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，是的中点，连接交于点，连接，若，，则点到的距离为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，若求的周长，则只需知道

A. 的长
B. 的长
C. 的长
D. 的长

11. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形，如图所示，点为两正方形的公共点，小明将正方形绕点旋转，当点恰好落在线段上时，连接，请你帮他求出此时的长为
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在正方形中，对角线、相交于点、分别为、上一点，且，连接，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．
14. 如图，在中，，，，是上一点，于点，于点，连接，则的最小值为________．
     

15. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，则的度数为______．
16. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，垂足为，如果，，那么的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
    求证：≌；
    连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
18. 如图，已知四边形是菱形，点，分别在线段，上，，，点，分别在线段，上，和相交于点，．
    求证：四边形是菱形．
    若四边形是菱形，求证：点是线段的中点．

19. 如图，在中，，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．

求证：四边形是平行四边形；

探究：当满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．

20. 如图，在矩形中，已知，，求的长和矩形的面积．
    
     

21. 如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点．
    求证；
    连接，，若平分，求证：四边形为矩形．
     

22. 在正方形中，点在射线上，连结，，，分别为，中点，连结交于点．
    如图，当点与点重合时，______；
    当点在线段的延长线上时．
    依题意补全图；
    在点运动过程中，始终有，请证明这个结论．

23. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    若，，求的长；
    当时，求的度数．

24. 如图，，分别是正方形的边，延长线上的点，且，过点作，交正方形外角的平分线于点，连接求证：
    ；
    四边形是平行四边形．
    
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形 是菱形是解题的关键．
作 于 ， 于 ，根据题意先证出四边形 是平行四边形，再由 得平行四边形 是菱形，再根据根据勾股定理求出 即可．
【解答】
解：如图，作 于 ， 于 ，连接 ， 交于点 ，

由题意知， ， ，
四边形 是平行四边形．
两张纸条等宽，
．
，
，
平行四边形 是菱形，
．
在 中， ， ，
．
故选 A ．   

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
根据菱形的性质得到 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【解答】
解： 四边形 是菱形，
，
在 中，
，
，
故选 A ．   

3.【答案】

【解析】四边形是菱形，

，，

，

添加，

，

添加，，

，

添加，

不能确定

添加，

．

故选C．

4.【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出 ，进而得到 ，再根据 ，即可得出 的度数．
【解答】

解：在中，，点是斜边的中点，

，

．

又，

．
故选C．

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出 ，由勾股定理求出 ， ，进而求出 即可．
【解答】
解： 矩形 ，
， ， ，
，
由折叠可得 ，
，
，
由折叠得， ， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，

设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选：．
设点坐标为，由坐标的意义可知，，根据围成的矩形的周长为，可得到、之间的关系式．
本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式根据坐标的意义得出、之间的关系是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：设，，则，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，

，
，
图中阴影部分的面积



，
A、正方形纸片的面积，故A不符合题意；
B、四边形的面积，故B不符合题意；
C、的面积，故C符合题意；
D、的面积，故D不符合题意；
故选：．
根据题意设设，，则，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．
本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积和正方形的性质，解题的关键是根据用字母表示各图形的线段长和面积．
 

8.【答案】

【解析】解：、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、有一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝性，原命题是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
故选：．
利用正方形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形、菱形的判定方法．
 

9.【答案】

【解析】解：如图过作的延长线于，
正方形中，对角线与相交于点，是的中点，
是的中位线，
为的中点，
，
，
而，
，
，
在中，，
，
又，
，
点到的距离为．
故选：．
首先如图过作的延长线于，然后利用已知条件可以证明是的中位线，接着利用中位线的性质、正方形的性质和勾股定理求出，最后利用面积法即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，也利用了三角形的中位线的性质和面积法，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
 

10.【答案】

【解析】解：过作于，连接，，
直线向上平移线段的长得到直线，
，
而，，
≌，
，
同理≌，
，
的周长为：．
求的周长，则只需知道的长．
故选：．
过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明≌，≌，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，综合性比较强．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质 过点 作 交 于点 ，根据 ≌ 得出 ，根据 ， ，求出 、 ，利用勾股定理求出 ，再根据 求出 ，最后根据 即可得出答案．
【解答】
解：如图，过点 作 交 于点 ，

四边形 和四边形 为正方形，
，
，
，

在和中，

≌，

，

，，，

，

，

，

，

，

．
故选D．

12.【答案】

【解析】解：是正方形，
，．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分线段 ，先证 ≌ ，推出 的长，再利用勾股定理求出 的长，最后在 中利用面积法可求出 的长，可进一步求出 的长，即可求 的长．
【解答】
解：设折痕 与 交于点 ，如图，

四边形 为正方形，
， ，
由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分线段 ，
，且 ，
，
又 ，
，
又 ， ，
≌ ，
，
在 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．   

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的值最小是解题的关键，难点在于利用等面积法列出方程．
【解答】
解：如图，连接 ．

，，，
，
，，，
四边形是矩形，
．
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，即线段的值最小，
此时，，
即，解得，
．
故答案为．

15.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，，
，
，
由作图可知，，
，
，
故答案为．
根据，求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
由勾股定理得到：．
又．
．
故答案为：．
根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，所以可得的长度．
本题考查了菱形的性质．属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
当平分时，四边形是菱形，

理由：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，即，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据四边形是平行四边形，可以得到，，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立；
根据平分和平行四边形的性质，可以证明▱是菱形，从而可以得到，然后即可得到，再根据题目中的条件，可以证明四边形是平行四边形，然后根据，即可得到四边形是菱形．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
由可知，，
四边形是菱形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
点是线段的中点．

【解析】先证四边形、四边形、四边形都是平行四边形，得，，再证，即可得出结论；
由可知，，再由菱形的性质得，，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，分别是，的中点，
，，
又，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，平行四边形是矩形，

理由如下：连接，，
是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．

【解析】本题考查的知识点是三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，条件开放性问题，熟知平行四边形的判定，矩形的判定的方法是解题的关键．
利用是的中位线得到，，再结合可得，故可用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论；
连接，，先证明四边形是平行四边形，再证到，可利用对角线相等的平行四边形是矩形得到答案．
 

20.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
由勾股定理得：，
矩形的面积．

【解析】根据矩形的性质得出，，，，求出，，根据等边三角形的判定定理得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，再求出矩形的面积即可．
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是中点，
，
，，，
≌，
；
如图，

，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，即，
四边形为矩形．

【解析】由题意可得，，，则可证≌，则可得结论；
由，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等可得结论．
本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
 

22.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：

在正方形中，，
，
点，是，中点，
，
，
，
故答案为：；
如图所示：

证明：延长到点，使，
则有，
在正方形中，，，
≌，
，
点是的中点，
，
，
即，
是中点，
是的中位线，
，
，
，
即，
．
连接，根据正方形的性质可得，根据中位线的性质可得，即可求出的值；
补全图形即可；
延长到点，使，易证≌，可得，再证明点是中点，根据中位线的性质可得，即可得证．
本题考查了正方形的性质，涉及三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形等相关知识，构造三角形中位线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：过点作于，于，如图，

四边形为正方形，
．
，，
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形．
解：如图，
在中，，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，
．
解：当时，
，
，
．
，
．

【解析】作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
根据角之间的关系解答即可．
本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
延长至点，使，连接，如图所示：
则，，
，
为正方形外角的平分线，
，
，
由得，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由证明≌得出，，由平行线的性质得出，证出，即可得出结论；
延长至点，使，连接，则，，证明≌得出，证出，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．