北师大版初中数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》单元测试卷（较易）（含答案解析）

北师大版初中数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》单元测试卷

考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定≌的是

A.  B.
C.  D.

2. 菱形不具备的性质是

A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 对角线互相垂直 D. 对角线一定相等

3. 如图，在菱形中，，连接，等于   

A.
B.
C.
D.

4. 在中，，，，为斜边的中点，则

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，是边上的中线，下列结论正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，中，，为中点，，则的长度为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，矩形中，，点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题，其中是真命题的为

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形

9. 如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接，下列结论：点是中点；；其中正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，则下列结论中错误的是

A.
B.
C.
D.
 

11. 如图，分别沿矩形纸片和正方形纸片的对角线，剪开，再拼成如图所示的四边形，中间空白部分恰好是正方形若，则四边形的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 定义：在平面内，一个点到图形的最长距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为，中心为，在正方形外有一点，，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最长距离的最小值为______．
14. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成和两部分，则该矩形的周长是______．
15. 如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转到矩形的位置．若，则______
    
    
     

16. 如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足______时，四边形是菱形．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接，．
    求证：四边形是菱形．

18. 如图，在中，点是边上一点，，连接点是中点，连接并延长交于点，连接过点作交于点，连接求证：四边形是菱形．

19. 如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
    求证：四边形为菱形；
    若，，求的面积．
20. 已知中，，点为的中点，以为底边的等腰按如图所示的位置摆放，且请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图保留作图痕迹．
    在图中作出的中线；
    在图中作出的中线．

21. 如图，在矩形中，是对角线．
    实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
    猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
22. 如图，矩形的对角线与相交于点，，，，．
    求证：四边形是菱形；
    求四边形的面积．

23. 如图，正方形中，点是边上的一点，连结、、若．
    求证：；
    连结交于点，连结交于点，求的度数
    
     

24. 如图，四边形是正方形，是上一点，于点．
    过点作的垂线交于点尺规作图，保留痕迹，不写作法；
    根据中作图，若，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明≌，故不符合题意；
B、添加，可用证明≌，故不符合题意；
C、添加，不能证明≌，故符合题意；
D、添加，可用证明≌，故不符合题意；
故选：．
由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，轴对称的概念和中心对称的概念熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，轴对称的概念和中心对称的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】
解： 菱形沿任意一条对角线所在的直线折叠两旁的部分能够重合所以是轴对称图形，故正确；
B. 菱形绕着对角线的交点旋转 能够与原来的图形重合所以是中心对称图形，故正确；
C. 据菱形的性质知对角线互相垂直，故正确；
D. 菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等，故不正确；
故选 D ．   

3.【答案】

【解析】

【试题解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出 的度数，进而得出 的度数．
【解答】
解： 在菱形 中， ，
，
．
故选： ．

4.【答案】

【解析】解：如图，中，，，，
由勾股定理得到：，
又为的中点，
．
故选：．
首先利用勾股定理求得斜边的长度，然后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答．
考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：如图：

在中，，是边上的中线，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分析判断．
本题考查直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：在中，，
则，
在中，为斜边中点，，
，
故选：．
根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，连接，交于，

四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
由矩形中，四边形是菱形，易证得≌，即可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得的长，又由∽，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定以及命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解： 、例如等腰梯形，故本选项错误；
B 、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C 、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D 、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，
，，
，
，，
由翻折可得，，，
，，
，
≌，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理可得，
，
解得，
，
点是的中点，
故正确；
，，
，
，
，
故正确；
过点作于点．

可得∽，
，
即，
解得，，
，
，
，
故不正确．
故选：．
证明≌，得到，设，则，，在中，由勾股定理可得，求出的值，即可证明正确；由，，可得，进而可得，可得正确；过点作于点可得∽，则，即，解得，，可得，由勾股定理可得，则，可得不正确．
本题考查翻折变换折叠问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，，，
≌，
故D正确．
≌，
．
，
，故C正确，
，
，

故B正确．
故选：．
正方形的四边相等，四个角都是直角，且，很容易证明≌，从而判断结论的正误．
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
设小正方形的边长为，则，，
四边形的面积为，
故选：．
由，得出，设小正方形的边长为，则，，所以四边形的面积为
本题考查了图形的剪拼，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，平方差公式是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出四边形 的面积等于正方形 的面积是解题关键．
利用旋转的性质得出四边形 的面积等于正方形 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】
解： 绕点 顺时针旋转 到 的位置．
四边形 的面积等于正方形 的面积等于 ，
，
，
中， ，
故选 D ．   

13.【答案】

【解析】解：当时，点到正方形的最长距离取最小值，连接、，如图：

是正方形的中心，，
由对称性可得，
，
，
在中，
，
点到正方形的最长距离的最小值为，
故答案为：．
当时，点到正方形的最长距离取最小值，根据勾股定理即可求出答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，找到点到正方形的最长距离取最小值时正方形的位置．
 

14.【答案】或

【解析】解：矩形中是角平分线，
，
，
，


平分线把矩形的一边分成和
当时：则，，则矩形的周长是：；
当时：，，则周长是：．
故答案为或．
利用角平分线得到，矩形对边平行得到那么可得到，可得到那么根据的不同情况得到矩形各边长，进而求得周长．
本题考查角平分线的性质和矩形的性质．主要运用了矩形性质和等角对等边知识，正确地进行分情况讨论是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，

，
，
将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，
，
，
，
故答案为：．
根据，得，而将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，有，则可求出答案．
本题考查矩形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，求出的度数．
 

16.【答案】

【解析】解：当时，四边形是菱形．
点，分别是，的中点，
，同理，，，
四边形是平行四边形．
，又可同理证得，
，，
四边形是菱形．
故答案为．
本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且相等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件．
本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 

17.【答案】证明：在中，点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，
即垂直平分，
，
平行四边形是菱形．

【解析】由题意可得≌，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论．
本题主要考查菱形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线，证得≌是解题关键．
 

18.【答案】解：，点是中点，
，
，
，
，
，
，
在与中，
≌，
，
，
，
四边形是菱形．

【解析】根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
．

【解析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证，可得结论；
由菱形的性质可求，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】连接并延长交于，连接，利用等腰三角形的性质可证明垂直平分，则，然后可证明，则满足条件；
连接交于点，则四边形为平行四边形，延长交于，则为的中点，所以满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

21.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线与相交于点，
，
平行四边形是菱形；
解：连接，

，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
，
菱形的面积为．

【解析】根据两组对边分别平行可知四边形是平行四边形，再根据，可证明结论；
连接，首先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是平行四边形．得，从而解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，菱形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
；

是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．

【解析】证明≌，便可得；
证明≌，得，进而得，便可得出结果．
本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，关键在于证明三角形全等．
 

24.【答案】解：如图所示，点即为所求；
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
故AB的长为．

【解析】根据题目的要求作出的垂线即可；
根据正方形的性质得到，，根据侧重点对于得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．