北师大版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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考试范围：第二章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
- 已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
- 定义为不大于实数的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为( )
A. 或 B. C. D. 或
- 在正方形的对角线上取一点，连结，过点作交于点，将线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．已知，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
- 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，其中，若是关于的函数，且，当时，的取值范围为( )
A. B. C. D.
- 表示不超过的最大整数．若实数满足方程，则( )
A. B. C. D.
- 方程的解是( )
A. 或 B. 和
C. 或 D. 无实数根
- 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，从而得到原方程的解为，这种解法体现的数学思想是( )
A. 转化思想 B. 整体思想 C. 数形结合思想 D. 方程思想
- 若、为方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
- 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 不存在
- 在菱形中，，交于点，，，动点从点出发沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从点出发沿方向以的速度匀速直线运动到点，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动．若点，同时出发，的面积为时，则运动时间不可能为( )
A. B. C. D.
- 某超市月份营业额为万元，月、月、月总营业额为万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为________．
- 对于实数，，定义运算“”：，则方程的根为________．
- 关于的方程的正实数根的取值范围是，则整数的最小值为 ．
- 若实数是一元二次方程的一个根，则的值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
- 当为何值时，关于的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
- 已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值．
- 对于一元一次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念知：即这样我们可以在实数范围内分解因式．
例：分解因式
解：的根为即，
试仿照上例在实数范围内分解因式：
． - 如图，在长方形中，边、的长是方程的两个根．点从点出发，以每秒个单位的速度沿边 的方向运动，运动时间为秒．
求与的长；
当点运动到边上时，试求出使长为时运动时间的值；
当点运动到边上时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出运动时间的值；若不存在，请说明理由． - 某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去元．在搬运过程中不慎打碎了盏，该店把余下的灯每盏以超出进价元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了盏．求每盏灯的进价．
- 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．
每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元．
要想平均每天赢利元，可能吗？请说明理由． - 如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
用，，表示纸片剩余部分的面积；
当，，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．
- 小颖解方程组时，把看错后得到的解是而正确解是请你帮小颖写出原来的方程组．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是分式方程，故A错误；
B、时，是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于的方程，解方程求得的值根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于的方程，解方程可求的值，将的值代入方程求解即可．
【解答】
解：一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
，
，
，
解得舍去，，
把代入得，
解得，．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：当时，，解得或，均不合题意
当时，，解得， 舍去
当时，，方程没有实数解
当时， ，方程没有实数解．
所以方程的解为．
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的判定和性质，平移的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，添加辅助线构造全等三角形是关键．
过点作于，交于，先证明四边形和是矩形，再证明，
得，，得和重合，，最后利用勾股定理根据，
得，解方程求得即可解答．
【解答】
解：过点作于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
四边形和是矩形，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．
，，，
，
，
，
在和中
，
，，
和重合，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
两边平方得：，
，
，
，
负数已舍去，
．
故选B．
5.【答案】
【解析】是关于的一元二次方程，
，由求根公式，得
或．
，，
，．
，当时，，解得，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次根式的非负性、解一元二次方程，对已知条件变形整理并平方，解方程即可得出的值，
求出后即可选择答案．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：，
原方程可变形为：，
两边平方得：，
，
，
解得：，
，解得：或舍去，
所以．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，原方程可变形为：即
或；
时，原方程不成立；
，原方程变形为：即
或．
因此本题的解为或．
故选A．
本题应对方程去绝对值，然后将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．在去绝对值时要对的符号进行判断．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对一元二次方程的解法的认识，将二次方程通过因式分解化为两个一元一次方程，体现了转化的数学思想．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法，再根据解方程的方法逐个进行判断即可
【解答】
解：我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，
从而得到两个一元一次方程：或，
进而得到原方程的解为，．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
根据一元二次方程解的定义得到，即，则可表示为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：为的实数根，
，即，
，
、为方程的两个实数根，
，，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出
，
，结合
，即可求出的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
解得，．
该方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
．
故选A．
11.【答案】
【解析】
【分析】
该题主要考查了菱形的性质及其应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，按三种情况分类讨论，逐一解析；对综合的分析问题，解决问题的能力提出了一定的要求．
如图，设运动时间为按，，三种情况来分类讨论，逐一解析，即可解决问题．
【解答】
解：如图，由题意得：，；；
设运动时间为当时，
，，
，解得：或舍去，
当时，，，
，解得：．
当时，，，
，
解得：或舍去，
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程．
【解答】
解：设平均每月营业额的增长率为，
则第二个月的营业额为：，
第三个月的营业额为：，
则由题意列方程为：．
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和图形的平移，解题的关键是利用图形的平移和等面积法，把阴影部分转化为一横和两竖的小道，并列出方程．设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．
【解答】
解：若小道进出口的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，不合题意，舍去．
故小道进出口的宽度为．
14.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，根据，得到是解题的关键．
【解答】
解：根据题意，
，
因式分解得，
解得，．
故答案为，．
15.【答案】
【解析】，
．
方程的正实数根是
，
，
，为整数，
的最小值为，
整数的最小值为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于的式子，代入代数式化简求值把代入方程有，变形可得 ，代入代数式可以求出结果．
【解答】
解：是一元二次方程的一个根，
，
．
故答案为．
17.【答案】解：根据题意得：
，
解得：，
即原方程为：，
解得：，．
【解析】根据一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程和关于的不等式，解之即可得到的值，代入原方程解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
18.【答案】解：得：，
得：，
不等式组，
，
解不等式组得：，
所以的整数值为：，．
【解析】此题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的整数解关键是用含的式子表示、首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可．
19.【答案】解：的根为
即，
．
【解析】认真阅读材料，运用求根公式解得对应方程的解，再仿照材料中的例题分解因式．
本题主要考查了用求根公式法分解因式．要认真阅读材料，熟练运用求根公式解得对应方程的解，根据材料中给出的方法分解因式．从阅读材料中获取所需的解题方法是需要掌握的基本能力．
20.【答案】解：
或，
则，；
由题意得
，舍去
则时，．
存在点，使是等腰三角形．
分情况讨论：
当时，秒；
当即为对角线中点时，，．
，，
秒
当时，作于，
，，
，
秒；
综上，可知当为秒或秒或秒时，是等腰三角形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形等知识点，有一定难度．
解一元二次方程即可求得边长；
结合图形，利用勾股定理求解即可；
根据题意，分为：，，，三种情况分别可求解．
21.【答案】解：设每盏灯的进价为元．
依题意，列方程：．
解方程得：，舍去．
经检验，符合题意．
答：每盏灯的进价为元．
【解析】根据题目的问题，设每盏灯的进价为元，元可以买灯个，实际卖出的是个；单价每盏灯元，卖出金额元；用所得的钱又采购了一批这种节能灯个，需要的金额元，根据题意，列方程．
本题可以从卖出的节能灯金额又采购的节能灯金额，建立等量关系．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要让利于顽客，
．
答：每件童装降价元时，能让利于顽客并且商家平均每天能赢利元．
设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无解，
不可能每天盈利元．
【解析】设每件童装降价元，则销售量为件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
设每件童装降价元，则销售量为件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：；
依题意有：，
将，，代入上式，得，
解得，舍去．
即正方形的边长．
【解析】边长为的正方形面积为，矩形面积减去个小正方形的面积即可．
依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出的值即可．
此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
24.【答案】解：将，；，分别代入得：，
解得：，，
将，代入中得：，
解得：，
则，，，
即原来的方程组为．
【解析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组的应用，注意：方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将，代入第二个方程，将，代入第二个方程，求出与的值，将正确解代入第一个方程求出即可．
