2022年广西南宁市中考数学试卷（含解析）

2022年广西南宁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是(    )

A. 条形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 直方图

4. 如图，数轴上的点表示的数是，则点关于原点对称的点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列事件是必然事件的是(    )

A. 三角形内角和是
B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军
C. 掷一枚均匀骰子，点数是的一面朝上
D. 打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况

8. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 化简：______．
14. 当______时，分式的值为零．
15. 如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数若指针正好指向分界线，则重新转一次，这个数是一个奇数的概率是______．

16. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是______米．

17. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是______．
18. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点点是对角线上一点，连接，过点作，分别交，于点，，连接，交于点，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，得到若点为的中点，则的周长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，在▱中，是它的一条对角线．
    求证：≌；
    尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，不写作法，保留作图痕迹；
    连接，若，求的度数．

22. 综合与实践
    【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
    【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】
上述表格中：______，______；
同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是______填序号；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．

23. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量盒与销售单价元之间的函数图象如图所示．
    求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

24. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

25. 已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧．
    求点，点的坐标；
    如图，过点的直线：与抛物线的另一个交点为，点为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点的纵坐标为，当时，求的值；
    将线段先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．

26. 已知，点，分别在射线，上运动，．
    如图，若，取中点，点，运动时，点也随之运动，点，，的对应点分别为，，，连接，判断与有什么数量关系？证明你的结论；
    如图，若，以为斜边在其右侧作等腰直角三角形，求点与点的最大距离；
    如图，若，当点，运动到什么位置时，的面积最大？请说明理由，并求出面积的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：。
根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可。
本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键。
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是，
故选：．
平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是熟记平移的定义．确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于原点对称的数是互为相反数，
又和是互为相反数，
故选：．
关于原点对称的数是互为相反数．
本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故选：．
根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据对顶角相等可得．
本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、三角形内角和是，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，
，
．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．
此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知，装裱后的长为，宽为，再根据整幅图画宽与长的比是：，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度．
故选：．
根据旋转的性质可得，则可得，即可算出的度数，根据已知可算出的长度，根据弧长公式即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于一、三象限，
；
、的抛物线都是开口向下，
，根据同左异右，对称轴应该在轴的右侧，
故A、都是错误的．
、的抛物线都是开口向上，
，根据同左异右，对称轴应该在轴的左侧，
抛物线与轴交于负半轴，

由，，排除．
故选：．
本题形数结合，根据二次函数的图象位置，可判断；再由二次函数的图象性质，排除，，再根据一次函数的图象和性质，排除．
此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数的图象和性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
当时，分式的值为零，
故答案为：．
根据分式值为的条件：分子为，分母不为，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，
指针指向的区域有种可能性，其中指向的区域内的数是奇数的可能性有种，
这个数是一个奇数的概率是，
故答案为：．
根据题意可写出所有的可能性，然后再写出其中指向的区域内的数是奇数的可能性，从而可以计算出指向的区域内的数是一个奇数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度为米，则可列比例为，，
解得：，
答：金字塔的高度是米，
故答案为：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
 

17.【答案】 

【解析】解：是关于的一元一次方程的解，
，
，



．
故答案为：．
根据是关于的一元一次方程的解，可得：，直接代入所求式即可解答．
此题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、的关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，作于，过点作于，连接，

将沿翻折得到，
≌，
四边形是正方形，
，，，
，是等腰直角三角形，
是的中点，
，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
≌，
，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
的周长的周长．
故答案为：．
作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得≌，所以的周长的周长，接下来计算的三边即可；证明≌和≌，得，，利用三角函数和勾股定理分别计算，和的长，相加可得结论．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的翻折等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减．
本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键
 

20.【答案】解：

，
当，时，原式． 

【解析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用．
 

21.【答案】证明：如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
≌；
如图所示，

解：如图，

垂直平分，，
，
，
是的外角，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明≌；
利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
由垂直平分线的性质得出，进而得出，再由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，基本作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
，
芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
同学说法合理．
故答案为：；
一片长，宽的树叶，长宽比接近，
这片树叶更可能来自荔枝．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设函数解析式为，由题意得：
，
解得：，
，
当时，，
，
与之间的函数关系式为；
设销售利润为元，
，
抛物线开口向下，
，
当时，有最大值，是，
当销售单价定为元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】可用待定系数法来确定与之间的函数关系式，根据图象可得的取值范围即可；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
 

24.【答案】证明：如图，
连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

解：如图，连接，
，
设，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
为直径，
，
，
∽，
，
，
，，
，，
，，
连接，则，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
的半径为． 

【解析】连接，进而判断出，即可得出结论；
设，，进而表示出，再判断出∽，得出比例式，进而表示出，，再判断出∽，得出比例式建立方程求出，最后根据勾股定理求出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】解：当时，，
，，
，；
抛物线对称轴为：，
设，
由得，
舍去，，
当时，，
，
由得，
，
；
可得，，
当时，
，
抛物线的顶点为：，
，
，
当时，
，
，
综上所述：或． 

【解析】令，从而，解方程进而求得结果；
设点，根据列出方程，进一步求得结果；
分为和两种情形．当时，抛物线的顶点大于等于，及把代入，的值大于或等于，从而求得结果；当时，将代入抛物线解析式，的值大于等于，从而求得结果．
本题考查二次函数图象与轴的交点与一元二次方程的关系，勾股定理列方程，分类讨论等知识思想，解决问题的关键是正确分类．
 

26.【答案】解：，理由如下：
在中，点是的中点，
，
同理可得：，
，
；
如图，

作的外接圆，连接并延长，分别交于和，
当运动到时，最大，
此时是等边三角形，
，
；
如图，

作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，
，，
则点在上，取的中点，连接并延长交于，
此时的面积最大，
，
． 

【解析】根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得，，进而得出结论；
作的外接圆，连接并延长，分别交于和，当运动到时，最大，求出和等边三角形上的高，进而求得结果；
作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，取的中点，连接并延长交于，此时的面积最大，进一步求得结果．
本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．