2020-2021学年1.1 集合的概念教学设计及反思

《1.1集合的概念》教学设计

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第一节《集合的概念》。以下是集合单元的课时安排：

二，学情分析

     本章内容属于“预备知识”。学生在小学和初中阶段已经接触过一些集合，如数集，不等式的解集，点集等，以此为基础，高中阶段系统安排了集合的初步知识，包括集合的含义、集合间的基本关系与集合的运算，使学生能够在现实情境或数学情境中，帮助学生运用集合的语言简洁、准确的表述数学的研究对象，提升学生数学表达的抽象层次，从而作好初高中数学学习的过渡。

三．学习目标

1.通过实例，了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,培养学生的数学抽象核心素养；

2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，提升数学抽象核心素养；

3.会用列举法、描述法表示集合，强化数学抽象核心素养。

四．教学重点

重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合；

难点：用描述法表示集合——难在对“共同特征”的描述、符号的表示

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他就请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”数学家只是笑了笑，没有当时就回答这位渔民.有一天，数学家来到这位渔民的船上，看到他撒下渔网，一拉动，许多鱼儿在网中跳动.数学家就激动的大喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.

【想一想】 数学家所说的集合指的是什么？

【提示】   数学家所说的集合是指渔网中的鱼组成了一个集合.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 考察下列问题，解决[思考1]：                    

（1）1～10之间的所有偶数；                                  

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；                                   

（3）所有的正方形；                         

（4）到直线l的距离等于定长d的所有点;

（5）方程的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

【思考1】

（1）实例中的每组对象的全体能组成集合吗？

（2）把研究对象看作元素，每个集合的元素是什么？

（3）构成集合元素的对象可以是什么？

【提示】 

（1）实例中的每组对象能组成集合；

（2）六个问题中集合的元素分别是：偶数2,4,6,8；立德中学今年入学的高一学生；正方形；到直线l的距离等于定长d的点；方程的实数根1,2；地球上的四大洋：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋。

（3）构成集合的元素可以是数、点、几何图形、物体等。

【设计意图】

通过问题与思考题的探究，引导学生概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

（二）集合

集合的概念：

（1）一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．

（2）我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

【思考2】

（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

（2）由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？由此说明什么？

（3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？

（4）如果两个集合中，元素完全一样，那么这两集合相等，这种说法正确吗？

（5）由以上思考题，可以得到集合有什么特性？

【提示】 （1）不能. 其中的元素不确定 ；   说明集合中的元素是确定的。

（2）不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .说明集合中的元素是互异的。

（3）集合没有变化；   说明集合中的元素是没有顺序的。

（4）正确。

（5）集合的元素满足三个特性：确定性、互异性、无序性。

【做一做】 

下列对象能组成集合的是(　　)

A．的所有近似值

B．某个班级中学习好的所有同学

C．2021年全国高考数学试卷中所有难题

D．屠呦呦实验室的全体工作人员           

 [解析]　D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A、B、C都不能构成集合．

[答案]　D

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入理解集合的概念，培养数学抽象的核心素养。

（三）元素与集合的关系

【思考3】已知下面的两个实例：

（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.

（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.

思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?

【提示】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.

元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.

1.对元素与集合关系的认识：

2.常用数集及其记法：

例1.【多选题】下列所给关系正确的是(　　)

A.π      B.         C.0         D .|－5|

【思维引导】  判断元素是否在集合中，利用正确的数学符号表示。

[解析]　选项A，π是实数，所以π  正确；选项B，是无理数，所以Q正确；选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误；选项D，|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选AB.

[答案]　A B　

【类题通法】

判断元素与集合关系的两种方法

【巩固练习1】

已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　)

A．3∈A且－3∉A   B．3∈A且－3∈A

C．3∉A且－3∉A   D．3∉A且－3∈A

[解析]  ∵3－1＝2>，∴3∉A.又－3－1＝－4<，∴－3∈A.

[答案]   D

【设计意图】

通过例题及练习的学习，使学生理解元素与集合的关系，强化数学抽象的核心素养。

（四）集合的表示

【思考4】 （1） 地球上的四大洋组成的集合如何表示？

（2） 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？

（3）通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？

【提示】（1）可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.

（2）该集合表示为  {-1,-2}

（3）列举法就是把集合中的元素一一列举出来。

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

【注意】（1）大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；

       （2） 元素按一定的顺序列举，可以保证元素不重不漏，如：从小到大等。

【探究1】集合,,,是否是相等的集合？

【提示】   根据集合元素的互异性，判断集合A与D相等；

集合A，D是数集，集合B，C是点集，所以不会相等；

集合B，C中的点不一样，所以不相等。

例2.用列举法表示下列集合：   

（1）小于10的所有自然数组成的集合.

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.

【思维引导】将集合中的元素一一列举，即可写出列举法。

[答案]  （1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.

【类题通法】列举法表示集合的步骤及注意点

【巩固练习2】

用列举法表示下列集合：

(1)一年中有31天的月份的全体；

(2)大于3.1小于12.8的整数的全体；

(3)方程＋|y＋1|＝0的解集；

(4)正奇数组成的集合．

[解答] (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．

(2){4,5,6,7,8,9,10,11,12}．

(3)由方程＋|y＋1|＝0可知，

即

从而方程的解集用列举法表示为{(2，－1)}．

(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为{1,3,5,7，…}．

【思考5】

（1）能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？

（2）能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？

（3）不能用列举法表示的集合怎样表示？

【提示】（1）用自然语言描述集合{0,3,6,9}是：比10小的能被3整除的自然数。

（2）不等式 x－3<7的解集是,有无数个元素，所以不能用列举法表示，但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：集合中的元素都小于10；集合中的元素都是实数．

（3）这样的集合可以通过描述其元素性质的方法来表示。

       一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

描述法表示集合的写法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,

画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

【探究2】集合,,C=是否是相等的集合？

【提示】

集合A表示函数的自变量x的取值集合，是实数集；

集合B表示函数的函数值y的取值集合，是非负实数集；

集合C是函数的图象上的点组成的集合，所以这三个集合都不相等。

例3.    试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

【思维引导】把集合中元素的特点表达出来，写出描述法，再将其转化为列举法。

[解答](1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为

B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

【类题通法】描述法表示集合的几点注意

(1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．

(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．

(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

【巩固训练3】

用描述法表示下列集合：

(1)不等式2x－3＜1的解组成的集合A；

(2)被3除余2的正整数的集合B；

(3)C＝{2,4,6,8,10}；

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.

[解答]　(1)不等式2x－3＜1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3＜1，则A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.

所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0，

故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}．

例4.用适当的方法表示下列集合：

①绝对值小于5的全体实数组成的集合；

②所有正方形组成的集合；

③除以3余1的所有整数组成的集合；

④构成英文单词mathematics的全体字母．

【思维引导】根据集合中元素的特点选择表示集合的方法。

[解答] ①绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|＜5}．

②所有正方形组成的集合可表示为{正方形}．

③除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a＝3x＋1，x∈Z}．

④构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m，a，t，h，e，i，c，s}．

【类题通法】选用列举法或描述法表示集合的原则

要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．　　

【巩固训练4】设集合

(1)试判断元素1和2与集合B的关系；

(2)用列举法表示集合B.

[解答](1)当x＝1时，＝2∈N；当x＝2时，＝∉N，∴1∈B,2∉B.

(2)∵x∈N，∈N，∴x只能为0,1,4，故B＝{0,1,4}．

【设计意图】通过学习列举法、描述法，使学生能针对不同集合的元素的特点用最合适的方法表示出集合，培养学生解决问题的能力。

（五）操作演练  素养提升

1.（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（   ）

A．与1非常接近的全体实数

B．某校2021-2022学年度笫一学期全体高一学生

C．高一年级视力比较好的同学

D．与无理数相差很小的全体实数

2.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

3.【多选题】（2021秦皇岛一中高一期中）下列结论不正确的是（    ）

A．        B．      C．     D．

4.集合用列举法表示是（   ）

A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}

C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}

[答案]   1.B     2.D     3.BC     4.D

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固集合与元素的含义与性质，集合的表示方法，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。

六．布置作业

完成教材：第5页  练习     第1，2，3题

第5页  习题1.1  第1,2,3,4题