高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系教学设计

《1.2集合间的基本关系》教学设计

一．教材分析

集合语言作为一种研究工具，在数学以及其他的领域都有广泛的应用，本节将学习集合与集合之间的基本关系，同时也是下一节学习集合的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.

二，学情分析

通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养数学抽象的核心素养，通过Venn图理解抽象概念，培养学生直观想象的核心素养。

对学生而言，前面已经学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系，而集合与集合之间的关系还是一个崭新的内容，但是初中阶段学习过使用数轴表示不等式的解集、用图示法表示四边形之间的关系，陌生的是使用集合的语言来表示集合的基本关系，从具体的实例中出现出集合的基本关系对学生来说是一个挑战。

三．学习目标

1. 了解集合之间包含与相等的含义，培养学生数学抽象的核心素养，

2. 能识别给定集合的子集，了解空集的含义，培养学生数学抽象的核心素养；

3．能使用图表达集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，提升直观想象的核心素养。

4.通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想.

四．教学重点

重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容。

难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

这天，正巧公孙龙骑着白马来到函谷关。

关吏说，“你人可入关，但马不能。”

公孙龙辩道：“白马非马，怎么不可以过关？”关吏说：“白马是马。”

公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣，但仍坚持说：“按照规定只要是赵国的马就不能入关，管你是白马还是黑马。”

公孙龙微微一笑，道：“‘马’是指名称而言，‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个概念。‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和‘马’或‘马’和‘白’，这是两个不同的概念。比如说你要马，给黄马、黑马可以，但是如果要白马，给黑马、给黄马就不可以，由此证明‘白马’和‘马’不是一回事！所以说白马非马。”

这一则寓言故事. 对于一般人，说“白马是马”就如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确无误。怎么可能“白马非马”呢？如果赵国的白马组成集合A，赵国的所有马组成集合B.

【想一想】 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？

(2)集合A与集合B又存在什么关系？

(3)故事中的“白马非马”是为何意？

【提示】　  (1)集合A中的元素都是B的元素.

(2)A是B的子集.

           （3）故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马组成的集合不相等。

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3},       B={1,2,3,4,5};
② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,  D为这个班全体学生组成的集合;
③ E={x| x是两条边相等的三角形},  F={x | x是等腰三角形}。   

【思考1】（1）从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？

（2）能否用集合语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点？

（3）上述三个例子中，前两组集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？

【提示】  （1）从元素与集合间的关系来分析集合间的关系。

（2）在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合的元素。

（3）前两组例子中，后一个集合中的元素有的不在前一个集合中，第三组例子中，后一个集合中的元素都在前一个集合中。

【设计意图】

通过问题与思考题的探究，让学生充分经历从观察、分析到抽象概括的过程，提升数学抽象的核心素养。  

（二）子集

1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集。

记作：

读作：“A含于B” (或“B包含A”)
符号语言：任意有 则。

2.Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

上述集合A与B之间的关系用Veen图可表示为：

【做一做】 1. 下图中，集合A是否为集合B的子集，在括号内填“是”或“否”。

（1）        （      ）             （2）  （      ）       （3）（      ）

 2.判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（     ）打√，若不是则在（     ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}          ( √   )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9}             ( ×   )
③A={a,b,c,d},  B={d,b,c,a}          ( √  )

【探究1】A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，

A、B、C之间有什么关系？　

【提示】

（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.（集合包含关系的传递性）

【探究2】    符号“A”与“{a}⊆A”的区别是什么？

【提示】

符号“”表达的是元素与集合的从属关系，

“⊆”表达的是集合与集合间的包含关系。

【做一做】  用正确的符号填空：

①{1,2}     {2,1}；②{1,2}；③1      {1,2}；④{1}     {1,2}

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入理解子集的概念，培养数学抽象的核心素养。

（三）集合相等

【思考2】若A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}，

（1）如何从元素的角度判断两个集合A与B的关系？

(2)如何从子集的角度判断集合A 与 B的关系?

【提示】

（1）集合B＝{x|x2＝x}={0,1}，所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等；

（2）集合B＝{x|x2＝x}={0,1}，集合A中的元素都属于集合B，所以集合A是B的子集；反之，集合B中元素都属于集合A，所以集合B是A子集，即两个集合互为子集，这两个集合相等。

集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

【做一做】

【提示】      相等

【设计意图】

通过此题 ，使学生掌握集合相等的判断方法

（四） 真子集

【思考3】 给出下面两个集合：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}．

（1）集合A中的元素都是集合B中的元素吗？

（2）集合B中的元素都是集合A中的元素吗？

【提示】  （1）是的　（2）不全是．

上述问题中两个集合A，B之间的关系就是真包含关系。

真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且xA，并且A≠B,称集合A是集合B的真子集．
记 作： AB（或BA）  

读 作：“A真含于B”（或B真包含A）。

韦恩图表示：

【探究3】 如何判断集合A是集合B的真子集？

【提示】  判断集合A是集合B的真子集时，首先满足集合A是集合B的子集，同时在集合B中含有不属于集合A的元素。

【设计意图】

通过问题探究，探究真子集的概念，提示舒小虎儿抽象的核心素养。

（五）空集

【思考4】（1）方程x2＋1＝0的解是什么？

（2）集合A＝{x|x<－1且x>3}中有多少个元素？

【提示】（1）无解    （2）　0个

空集：   一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，

并规定： 空集是任何集合的子集   ；空集是任何非空集合的真子集．

【辩一辩】 判断正误：

(1)空集没有子集．(　　)

(2)空集是任何集合的真子集．(　　)

(3)∅={0}．(　　)

【提示】 （1）×  （2）×   （3）×

（六）集合间的关系的应用

1.子集、真子集的写法

例1  写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

[解答]    集合{a，b}的所有子集为，{a},{b} ,{a, b}，

真子集为，{a},{b}。

【延伸拓展】  写出集合{a,b,c}的子集，并猜想集合的子集个数与集合中元素的个数有什么关系？真子集呢？

【提示】  集合{a,b,c}的子集是：，{a},{b},{c}，{a，b}，{a,c},{b,c},{a,b,c}.

【猜想】  如果集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个

【类题通法】

写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.
写集合真子集时，除集合本身外其余的子集都是它的真子集.

【提醒】    真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．

【巩固练习1】  已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．

[解答]  由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5个元素：{1,2,3,4,5}．

故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

2.判断集合间的关系

例2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

[解答]  （1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

【类题通法】 判断集合间的关系的方法

(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．

(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．

【巩固练习2】

已知集合A＝{x|x＜－2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则(　　)

A．A＝B  B．AB

C．B A  D．A⊆B

[解析]   在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知BA.

[答案]    C

3.由集合间的关系求参数

例3.

设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．

(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．

[解答]　(1) 由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.

所以B＝{5}，所以B A.

(2)    当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；

当B≠∅时，a≠0，集合B＝{}，由B⊆A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.

综上所述，实数a的取值集合为.

【类题通法】根据集合的包含关系求参数的方法

(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；

(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．

【巩固练习3】  已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若AB，求a的取值范围．

[解答]   由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：

若AB，由图可知，a＞2.

（七）操作演练  素养提升

1．（多选题）已知集合M={x|x2-9=0}，则下列式子表示正确的有(    )

A．3∈M B．{-3}∈M

C．∅⊆M D．{3,-3}⊆M

2. （2021广东湛江）已知集合，则的真子集个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3.（2021·湖南高一月考）已知集合，，若，则（    ）

A．或 B． C． D．或或

[答案】   1.ACD     2.C      3.D

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（八）    课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第8页  练习1,2

第9页  习题1.2  第1,2，3，4,5题