数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案

这是一份数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案，共10页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。
《1.4.1充分条件与必要条件》教学设计一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排： 第四节第五节课时内容 充分条件与必要条件全称量词与存在量词所在位置教材第17页教材第26页  新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。 核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。教学主线命题的真假判断 二、学情分析      学生在初中阶段已经接触过命题，对命题的真假判断有了一定的基础，这对学习本节内容有一定的帮助，但是学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，在学习过程中会有困难，所以在教学时应多举一些实例引导学生去分析，使之与学生的知识结构同步完善发展。  三、学习目标1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养；2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养；3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养。四、教学重点重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；难点：1.必要条件的理解      2.充分条件、必要条件的判断方法五、教学过程 （一）新知导入1. 创设情境，生成问题从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。　　一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。　　邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。”　　他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。　　第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。　　这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。　　从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。从这个小故事咱们发现一问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。2.探索交流，解决问题【问题1】 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．　                                  （3）若则；                          （4）若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l,则【提示】  （1）(4)是真命题，（2）（3）是假命题。【设计意图】通过问题的探究，引导学生探索充分条件、必要条件的概念，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 （二）充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．【思考1】 （1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？（2）若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明。（3）若p是q的必要条件，那么p是唯一的吗？举例说明。（4）如何理解充分条件与必要条件？【提示】（1）相同，都是p⇒q；（2）不是，如x>2，x>3都是x>0的充分条件；（3）不是，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．        （4）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的；所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．【做一做】     用符号“⇒”与“   ⇏”填空:①>1 ______ x>1.     ②a,b都是偶数 ______ a+b是偶数.2.用“充分条件”或“必要条件”填空：   （1）是的______________；   （2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.[答案]   1.⇏  ⇒        2. 　充分条件   必要条件【设计意图】通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。 （三）充分条件与必要条件的判断例1.(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．[解析]　 ① ∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③ ∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．[答案]　③例2.下列命题中，p是q的必要条件的是________．(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．[解析]　(1)由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件．(2)由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件．[答案] （2）【类题通法】 充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．【巩固练习1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：<1. [解析]　 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.强化逻辑推理的核心素养。 （四）充分条件与必要条件的应用例3.已知p：关于x的不等式  <x<，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． [思维引导]　p是q的充分条件转化为对应A⊆B，q是p的必要条件转化为A⊆B.[解析]  记,,若p是q的充分条件，则⊆B，分两种情况讨论：①若,即,解得m≤0,此时⊆B，符合题意；②若,要使⊆B，应有,解得.综上可得，实数m的取值范围是.[变式]    本例中，  若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解析]  记,,若p是q的必要条件，则⊆A，则，解得，所以实数m的取值范围是.【类题通法】　充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．【巩固练习2】已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；     q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．[解析]  　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以解得－≤a<0，所以a的取值范围是.（五）操作演练  素养提升1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．[答案]   1.必要     2.充分     3.必要     4.充分【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 （六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                                               （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                  【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固充分条件与必要条件的判断方法，提高语言转换和抽象概括能力,培养正确的逻辑推理意识。六、布置作业完成教材：第20页  练习     第1，2，3题