高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计，共15页。教案主要包含了设计意图，思维引导，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，巩固练习5等内容，欢迎下载使用。
《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》一．教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第二章《一元二次函数、方程和不等式》的第三节《二次函数与一元二次方程、不等式》。以下是本章的课时安排： 第一节第二节第三节课时内容等式性质与不等式性质基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式所在位置教材第37页教材第44页教材第50页  新教材内容分析通过类比初中学过的等式和方程，梳理等式的基本性质，归纳其蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，为全章提供理论基础.教材从已经得到的重要不等式+出发，通过字母代换得到了基本不等式，并进行了证明，给出了几何解释，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一种数学模型，解决了一些典型的最大最小值问题。以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点，看一元一次方程、不等式，学习从函数的观点看一元二次方程、不等式、在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的方法。 核心素养培养通过观察实例，理解不等式的性质，体现了逻辑推理的核心素养.通过字母代换获得基本不等式，体现了数学抽象的核心素养；通过基本不等式及其应用，体现了逻辑推理的核心素养.通过二次函数的图象，发现二次函数、方程、不等式之间的联系，强化了数学抽象与直观想象的核心素养；在求解一元二次不等式的解集的过程中，提升了数学运算的核心素养.教学主线比较大小的基本事实基本不等式的模型二次函数、方程、不等式之间的关系 二，学情分析     本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。三．学习目标1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。　　四．教学重点 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．五．教学过程 （一）新知导入1. 创设情境，生成问题汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行， 突然发现情况不对，同时紧急刹车，但是两车还是相撞了.现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.　【探究1】　判断甲、乙两车是否超速，各需用怎样的不等式？【提示】　对于甲车，有对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10.  探索交流，解决问题 【思考1】 (1)以上给出的2个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?(2)三个不等式的表达形式上有何共同特点?(3)一元二次不等式>0中,a,b,c都不能为零对吗?【提示】（1）它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2.（2）形如>0(或≤0);其中a,b,c为常数,且a≠0，我们把这样的不等式叫作一元二次不等式。（3）不对.一元二次不等式中,a≠0,b,c可以为0.【设计意图】通过探究，引导学生发现生活中一元二次不等式特征，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 （二）一元二次不等式一元二次不等式的定义：          一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.【做一做】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）;(2);（3）>0;（4）【提示】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是【设计意图】通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养. （三）一元二次不等式的解集【探究2】画出二次函数y＝x2－x－6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集吗？【提示】二次函数y＝x2－x－6的图象如图，观察函数图象可知：当时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0，即x2－x－6>0的解集为；当时，函数图象位于x轴下方，此时y<0，即x2－x－6<0；所以，不等式x2－x－6<0的解集是.1.二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅ 注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 例1.解下列不等式：(1)  －x2＋5x－6>0；(2)  3x2＋5x－2≥0；(3)  x2－4x＋5>0.【思维引导】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集. [解析]　(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2<x<3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝.由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为.(3)    方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.【巩固练习1】解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．[解析] (1) 原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．(2)    原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．(3)    由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.【设计意图】通过例题及练习，使学生熟练一元二次不等式的解法，培养数学运算的核心素养。 （四）三个二次之间的关系例2. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解析]　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 【类题通法】应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．【巩固练习2】已知x2＋px＋q＜0的解集是，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0.[解析]　由已知得，x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q＝0的根，∴－p＝－＋，q＝－×，∴p＝，q＝－.∵不等式qx2＋px＋1＞0，∴－x2＋x＋1＞0，即x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，故不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．【设计意图】通过例题及巩固练习，使学生熟练三个二次之间的关系，会进行逆向应用求参数，提高学生的逻辑推理核心素养。 （五)含有参数的一元二次不等式的解法例5. 解关于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.[解析]　原不等式化为(x－1)(ax＋1)＞0(1)当a＝0时，原不等式为x－1＞0，∴x＞1，(2)当a＞0时，原不等式为(x－1)(x＋)＞0. 两根为1与－  且1＞－，∴得x＞1或x＜－；(3)当a＜0时，原不等式化为(x－1)(x＋)＜0，  两根为1与－，又∵当－1＜a＜0时，－＞1， ∴得1＜x＜－.当a＝－1时，不等式为(x－1)2＜0，解集为∅，当a＜－1时，－＜1，∴得－＜x＜1.综上，当a＞0时，解集为{x|x＞1，或x＜－}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当－1＜a＜0时，解集为{x|1＜x＜－}；当a＝－1，解集为∅；当a＜－1时，解集为{x|－＜x＜1}．【类题通法】在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.【巩固练习3】解关于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.[解析]　原不等式等价于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.①当a＞0时，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集为{x|x≥1＋a或x≤1－a}．②当a＝0时，原不等式的解集为全体实数R.③当a＜0时，1－a＞1＋a，原不等式的解集为{x|x≥1－a或x≤1＋a}．综上所述，当a＞0时，解集为{x|x≥1＋a或x≤1－a}；当a＝0时，解集为R；当a＜0时，解集为{x|x≥1－a或x≤1＋a}.【设计意图】通过例题分析，引导学生对含有参数的一元二次不等式进行讨论，明确分类的原则，提高学生解决问题的能力。    （六）不等式恒成立问题例4. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）A．     B．    C．或     D．或【思维引导】原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数k，故应分k＝0与k≠0两种情况分类讨论．[解析]当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，若不等式对任意恒成立，则，解得；当时，不等式不能对任意恒成立。综上，的取值范围是.[答案]  A【类题通法】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式，它的解集为R的条件为一元二次不等式，它的解集为R的条件为【巩固练习4】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．[解析] 若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即x>－1，不合题意，故a≠0.令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式对任意x∈R都成立，∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，即∴a<－.【设计意图】通过例题学习，引导学生总结恒成立问题的解法，提高学生逻辑推理的核心素养。 （七）一元二次不等式的实际应用例5. 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？[解析] 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 . 移项整理，得对于方程，=100>0，方程有两个实数根=50，=60.画出二次函数y=的图像，结合图象得不等式的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为{x|50<x<60}.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在  51~59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益. 【类题通法】利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；③求解所列出的不等式(组)；④结合题目的实际意义确定答案．【巩固练习5】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？  [解析]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例x应在0<x<的范围内．【设计意图】通过例题探究，引导学生解决生活中的有关一元二次不等式的问题，并能用数学方法解决，培养学生数学建模的核心素养。 （八）操作演练  素养提升1.（多选题）下面所给关于x的不等式是一元二次不等式的有(　　) A.3x＋4＜0    B.x2＋mx－1＞0    C.ax2＋4x－7＞0    D.x2＜0 2.不等式x＞x2的解集是(　　)A．{x|x＞1}　　　　 B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜1}  D．R3.不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　　)A．∅  B．RC．{x|x＞5}  D．{x|x＜2}4.不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a－b的值为(　　)A．14  B．－14  C．10  D．－10[答案]   1.BD   2.C     3.A    4.D【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（九）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                                               （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固一元二次不等式的解法,树立用不等式解决相关问题的意识。 六．布置作业 完成教材：第53页  练习     第1，2题 第54页  练习    第1，2 ，3题 第55页   习题2.3   第1，2，3,4，5题