人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案及反思，共12页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4等内容，欢迎下载使用。
 《3.3幂函数》  教学设计  一．教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第三节《幂函数》。以下是本章的课时安排： 第一节第二节第三节第四节课时内容函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用（一）所在位置教材第60页教材第76页教材第89页教材第93页  新教材内容分析以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合--对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念. 核心素养培养通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直观想象的核心素养.通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础. 通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.教学主线函数的概念  二，学情分析从学生的知识上看，学生在初中已经学过正比例函数、二次函数、反比例函数等简单函数的图象，在上一节又学习了函数的单调性与奇偶性，已经初步积累了研究函数的初步经验，为学习幂函数做了知识的储备；从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的分析问题和解决问题能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，不严谨；从学生的思维特点看，学生要理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示---图象与性质---应用），对学生是一个思维的突破。 三．学习目标1、理解幂函数的概念，达成数学抽象的核心素养；2、会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，提升直观想象的核心素养；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生逻辑推理的核心素养．4、在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题，强化数学运算的核心素养。四．教学重点 重点：常见幂函数的概念、图象和性质；难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小． 五．教学过程 （一）新知导入1. 创设情境，生成问题数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。2.探索交流，解决问题问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.【探究1】观察五个解析式有什么共同特征？    【提示】五个解析式都是幂的形式，指数为常数，底数为变量。 【设计意图】通过探究，引导学生直观感受幂函数的结构，并尝试用数学语言表达幂函数的定义，提高学生思考并解决问题的能力。（二）幂函数的概念1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．例1.下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．其中幂函数的个数为(　　)A．1　　　　　　　　　 　B．2C．3   D．4[解析]　(1)由幂函数的概念可知，只有①⑥是幂函数．[答案]　B【类题通法】幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项．【巩固练习1】已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)A．2  B．1  C.  D．0解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.答案　A （三）幂函数的图象及性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝图象定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1) 性质总结：(1)当α＞0时，①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，α＞1时，图象是向下凸的；0＜α＜1时，图象是向上凸的；④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展．(2)当α＜0时，①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；④在第一象限内，过点(1,1)后，|α|越大，图象下降的速度越快．【辩一辩】下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限；②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．[答案]  ①④【设计意图】通过学习，使学生明确幂函数的图象及性质，强化直观想象的核心素养。（四）幂函数的应用1.求幂函数的解析式例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．[解]　由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，当m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)为减函数，不符合要求．综上，f(x)＝x3.【类题通法】判断幂函数的依据形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点：(1)系数为1.    (2)指数为常数(也可以为0)．   (3)后面不加任何项．【巩固练习2】已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)A.     B．1      C.   D．2[解析]　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.[答案]  A 2.幂函数图象的应用例3.（1）已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[解]　因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． 【类题通法】(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．（2）幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝，y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)A．C2，C1，C3，C4                 B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4                 D．C1，C4，C2，C3[解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3，故选D.[答案]　D【类题通法】幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.【巩固练习3】 （1）点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． （2）在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)[解析]　选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．[答案]　C3.比较大小例4. 比较下列各组数的大小．(1)0.5与0.5；(2)－1与－1；(3)与.解　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－<－，所以－1>－1.(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，所以.【类题通法】幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同时，考虑应用幂函数的单调性；考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．【巩固练习4】比较下列各组数的大小：(1)和；(2)，和.[解]　(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)所以 【设计意图】通过例题解答，让学生直观感受幂函数的图象和性质的应用，从而提高学生的逻辑推理的核心素养.（五）操作演练  素养提升1.下列函数中不是幂函数的是 (　　)A．y＝　　　　　 B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－12.已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为   (　　)A．y＝x＋2       B．y＝x2C．y＝       D．y＝x33．已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　)A．m＞n＞p                  B．m＞p＞nC．n＞p＞m                   D．p＞n＞m4.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为(　　)A．4  B．3C．－1或2  D．2答案：1.C   2.B   3.C    4.D 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                          （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固函数的奇偶性，树立用函数的性质解决相关问题的意识。 六．布置作业 完成教材：第91页  练习     第1，2,3题          第91 页   习题3.3  第1,2,3题