高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时教案设计

《4.1 指数》教学设计

第二课时    指数幂及其运算

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.1指数》。以下是本节两个课时的安排：

二，学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经学习了整数指数幂、平方根和立方根等知识，有了这些储备知识作为生长点，就可以再一次回顾由正整数指数幂到整数指数幂的扩充过程，非常自然地一个想法就是将整数指数幂推广到有理数指数幂，再进一步推广到实数指数幂，也将平方根、立方根推广到n次方根，并找到n次方根与分数指数幂的关系。

三．学习目标

1.理解分数指数幂的意义，达成数学抽象的核心素养.

2.会进行分数指数幂与根式的互化，培养数学运算的核心素养.

3.了解无理数指数幂的意义，体会数学抽象的核心素养.

4．掌握用实数指数幂的运算性质化简求值，增强逻辑推理与数学运算的核心素养.

四．教学重点

1. 重点：实数指数幂的运算性质。

2.难点：实数指数幂运算性质的应用。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？

他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将，，，…写成a，a，a，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习.

牛顿

2.探索交流，解决问题

【想一想】a  、a－(a>0)写成根式会是怎样的形式？

【提示】a＝，a－＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1).

（二）分数指数幂的定义

【问题1】 观察下列各式,你能得出什么结论?

（1）

（2）

【提示】通过观察两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.

【问题2】类比以上两式,你能运用分数指数幂表示出下列各式吗?由此你能得出什么结论?

【提示】能,可以得出:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.

【问题3】因为(≠0)可以写成,那么(≠0)能否写成?

【提示】能.

【设计意图】

通过这些小问题思考与回答，让学生充分体验从思考、分析到归纳的思维过程，达成数学抽象的核心素养。  

分数指数幂的定义

1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

2.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

【做一做】 1.a－(a>0)化为根式的形式为________.

2.(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.

【答案】1.    2. (m－n)

【设计意图】

通过根式与分数指数幂的互化，使学生深入理解分数指数幂的概念，培养数学运算的核心素养。

（三）有理数指数幂的运算性质

【问题4】 1.

【提示】

【问题5】

【提示】

【问题6】

【提示】

有理数指数幂的运算性质

(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q).

【做一做】

1.化简27＝________.

2．－的值是________．

【答案】1. 9  2.

【设计意图】

通过计算，使学生掌握有理数指数幂的运算性质，培养逻辑推理与数学运算的核心素养。

（四）无理数指数幂及其运算性质

1. 无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

2. 实数指数幂的运算性质：

(1)有理数指数幂的运算性质，可以进一步推广到实数指数幂，即：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).

(2)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R).

（五）典例透析

1. 根式与分数指数幂的互化

【例1】　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.

(1)；(2)；(3)；(4).

解　(1)＝a.

(2)＝＝a－.

(3)＝＝ba－＝a－b.

(4)＝＝a＝a3.

【类题通法】  根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数化为分数指数的分母，

被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.

【巩固练习1】用分数指数幂表示下列各式：

(1)(a>0，b>0)；

(2)(a>0，b>0).

解　(1)＝＝1.

(2)＝＝＝＝a－b.

2. 利用实数指数幂的运算性质化简求值

【例2】　计算下列各式(式中字母都是正数)：

(1)

(2)

(3)

解　(1)

＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.

(2)原式＝

＝

(3)原式＝＋1＝1＋1＝2.

【类题通法】利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

【巩固练习2】计算下列各式(式中字母均为正数)：

（1）··；

（2）(0.064)－－＋＋16－0.75.

解　（1）原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.

（2）原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.

3.条件求值问题

【例3】已知＝3，求下列各式的值．

（1）a＋a－1；（2）a2＋a－2；（3）

解　(1)∵∴ 即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.

(2)∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.

(3)＝3×(7－1)＝18.

【变式探究】（变条件）在本例的条件下，求a2－a－2的值．

解　设y＝a2－a－2，两边平方，

得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.

所以y＝±21，即a2－a－2＝±21.

【类题通法】条件求值问题的解法

(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

【巩固训练3】　已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．

解　 ①

∵x＋y＝12，xy＝9，②

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.

又∵x<y，∴x－y＝－6.③

将②③代入①，得

（六）操作演练  素养提升

1.下列运算结果中，正确的是(　　)

A.a2·a3＝a5   B.(－a2)3＝(－a3)2

C.(－1)0＝1   D.(－a2)3＝a6

2.(a>0)的值为(　　)

A.          B. a         C.           D.

3．下列等式一定成立的是 (　　)

A.＝a;   B.＝0；

C. (a3)2＝a9;   D.

4. 若x＝2，则＝________.

5. 计算：0.25×－4÷20－＝________.

【答案】1.A  2.B   3.D    4.±1  5. -4

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（七）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第107页  练习 第1，2,3题

第109页  练习 第1题

第109页  习题4.1  第2,3,4,5,7,8题