人教A版 (2019)4.2 指数函数第1课时教案

《4.2 指数函数》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.2 指数函数》。以下是本节两个课时的安排：

二、学情分析

    针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念、图象和性质已有了初步认识，学生也对采用“描点法”描绘函数的图象及利用函数的图象研究函数性质的途径已基本掌握，这就能够为研究《指数函数》做好了知识层面的准备。

第一课时   指数函数及其图象和性质

一、学习目标

1.理解指数函数的概念，达成数学抽象的核心素养.

2. 掌握指数函数的图象和性质，培养数学运算的核心素养.

3. 会求指数形式的函数的定义域、值域，发展数学运算的核心素养.

二、教学重难点

重点：指数函数的概念。

难点：指数函数的图象和性质。

三、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系见下表：

【想一想】对应的层数y与折叠次数x间存在怎样的函数关系？对折后的面积S与折叠的次数x间呢？你得到的两个函数解析式有什么共同特征？

【提示】第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝(x∈N*).

这两个函数解析式的共同特征：(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.

（二）新知探究

2.探索交流，解决问题

〖知识点1〗  指数函数的概念

【问题1】 1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x之间的关系是什么?

【提示】(x∈N*).

2．某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么?

【提示】.

3．你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?

【提示】共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值不同.

【设计意图】

通过这两个小问题思考与回答，让学生充分体验从阅读、思考、分析到归纳概括的过程，达成数学抽象的核心素养。  

指数函数的概念　注意其特征：系数为1，指数为x，底数a>0且a≠1

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

【做一做1】

 1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是(　　)

A．0          B．1            C．2              D．3

2.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.

【答案】1. B　 2. ()x

【设计意图】

通过问题的设置与探究，使学生深入理解指数函数的概念，发展数学抽象的核心素养。

〖知识点2〗  指数函数的图象和性质

[问题2] 1．你能在同一坐标系中用描点法画出及 的图象吗？

【提示】　列表：

描点并连线：

2．结合图象你锁一下发现它们有什么特点和联系吗?

【提示】共同点:都在x轴上方，都过点(0,1).不同点:的图象是下降的,的图象是上升的.联系:二者关于y轴对称.

【做一做2】1.函数y＝2－x的图象是(　　)

2．函数y＝(－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”)

【答案】1. B   2. 减

【设计意图】

通过问题的设置与探究，使学生深入理解指数函数的图象与性质，加强直观想象与逻辑推理的核心素养。

（三）典例透析

1. 指数函数的概念及应用

【例1】　(1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)

①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤

(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.

解析　(1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.

(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得解得a＝2.

答案　(1)③　(2)2

【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求；

(2)ax前的系数是否为1；

(3)指数是否符合要求．

【巩固练习1】(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)

A.a＝1或－1   B.a＝1

C.a＝－1   D.a>0且a≠1

(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.

解析　(1)由条件知解得a＝－1.

(2)设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝()x.

答案　(1)C　(2)f(x)＝()x

2. 指数函数的图象和性质

【例2】　已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象.

解　y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.

作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象，如图所示.

【变式探究】（变条件）函数y＝＋2的图象恒过哪个定点呢？

解  ，即时，，∴函数y＝＋2的图象恒过定点.

【类题通法】处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

【巩固练习2】画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

①y＝2x＋1；②y＝－2x.

解　如图．

①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．

②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

3. 指数型函数的定义域和值域

【例3】　求下列函数的定义域和值域：

(1)

(2)y＝－|x|；

(3)y＝.

解　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，

∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．

∵≠0，∴≠1，

∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(2)定义域为R.

∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，

∴此函数的值域为[1，＋∞)．

(3)由题意知1－x≥0，

∴x≤1＝0，

∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．

∵x≥0，∴x≤1.

又∵x>0，∴0<x≤1.

∴0≤1－x<1，

∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1).

【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法

(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．

(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

【巩固训练3】求下列函数的定义域、值域：

　(1)

　(2)；

　(3) y＝4x－2x＋1．

解　①由5x－1≥0，得x≥，

∴所求函数的定义域为.

由≥0，得y≥1，

∴所求函数的值域为[1，＋∞)．

　(2)定义域为R.

∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，

∴≤－4＝16.

又∵>0，

∴函数的值域为(0,16]．

(3)函数的定义域为R，

y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，

∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，

同时y可以取一切大于的实数，

∴值域为.

（五）操作演练  素养提升

1. 若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　)

A．－1或2   B．－1

C．2   D.

答案　C

2.如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　)

A.一次函数模型   B.二次函数模型

C.指数函数模型   D.幂函数模型

答案　C

3.指数函数y＝ax与y＝bx的图

象如图所示，则(　　)

A.a<0，b<0                  B.a<0，b>0

C.0<a<1，b>1                D.0<a<1，0<b<1

答案　C

4.(一题双空)指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.

解析　由指数函数y＝2x的图象和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).

答案　R　(0，＋∞)

5．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点______．

答案　(3,4)

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

四、作业布置

完成教材：第109页  习题4.1  第1题

五、课堂记录

六、教学反思