人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第2课时教学设计

《4.2 指数函数》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.2 指数函数》。以下是本节两个课时的安排：

二、学情分析

    针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念、图象和性质已有了初步认识，学生也对采用“描点法”描绘函数的图象及利用函数的图象研究函数性质的途径已基本掌握，这就能够为研究《指数函数》做好了知识层面的准备。

第二课时    指数函数的图象与性质的应用

一、学习目标

1. 理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养.

3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式，提升逻辑推理与数学运算的核心素养.

二、教学重难点

重点：指数函数的图象和性质。

难点：指数函数的图象和性质的应用。

三、教学过程

（一）新知探究

指数函数的图象和性质

【问题1】指数函数的底数与其图象具有什么关系？

 【提示】底数与指数函数图象的关系　记忆口诀：y轴右侧，底大图高

(1)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.

(2)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

【问题2】如何解指数型不等式？

【提示】(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；

(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；

(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.

【问题3】与指数函数复合的函数单调性怎样？

【提示】一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.

【设计意图】

通过这些小问题思考与回答，让学生充分体验从观察、分析到概括的过程，达成数学抽象的核心素养。  

【做一做】1.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.

2.比较大小：π－________.

【答案】1. (－∞，－1)   2. <

【设计意图】

通过问题的设置与探究，使学生深入理解指数函数的单调性，培养逻辑推理与数学运算的核心素养。

（二）典例透析

1. 指数函数图象的辨识

【例1】　(1)如图所示是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A.a<b<1<c<d                 B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d                 D.a<b<1<d<c

 (2)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

解析　(1)在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c>d>1，b<a<1，所以b<a<1<d<c.

(2)函数恒过点(0，1＋b)，因为b<－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限.

答案　(1)B　(2)A

【类题通法】解决指数函数图象问题的注意点

(1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状.

(2)在y轴右侧，指数函数的图象底大图高.

【巩固练习1】已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)

解析　由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.

答案　C

2.比较大小

【例2】　比较下列各组数的大小：

(1)0.72.5,0.73；(2)0.3,3－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.

解　(1)由于底数0.7＜1，∴指数函数y＝0.7x在(－∞，＋∞)上是减函数．

∵2.5＜3，∴0.72.5＞0.73.

(2)0.3＝3－0.3.∵底数3＞1，∴指数函数y＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵－0.3＜－0.2，∴3－0.3＜3－0.2，即0.3＜3－0.2.

(3)由指数函数的性质得1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1.∴1.70.3＞0.93.1.

【类题通法】比较幂值大小的3种类型及处理方法

【巩固练习2】　(1)下列大小关系正确的是(　　)

A.0.43<30.4<π0   B.0.43<π0<30.4

C.30.4<0.43<π0   D.π0<30.4<0.43

(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c   B.a<c<b

C.b<a<c   D.b<c<a

解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B.

(2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.

答案　(1)B　(2)C

3. 简单的指数不等式的解法

【例3】　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．

解　①当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5，

∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.

②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，

∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.

综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}．

【变式探究】（变条件）若将本例中“a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)”变为“2－5x＞4x＋7(a＞0，a≠1)”，呢？

解　2－5x＞4x＋7化为  因为  y＝2x为增函数，则－5x＞2x＋14，解得x＜－2，

所以不等式的解集是x∈(－∞，－2)．

【类题通法】解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．

【巩固训练3】　不等式4x<42－3x的解集是________．

解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.

答案　

4.指数型函数的单调性

【例4】　求f(x)＝的单调区间，并求其值域.

解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

∴y＝，u∈[－1，＋∞)，

∴0<≤＝3，

∴原函数的值域为(0，3].

【类题通法】函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧

当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.

【巩固训练4】　求函数(a>0，且a≠1)的单调区间．

解　设y＝au，u＝x2＋2x－3，

由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．

当a>1时，y关于u为增函数；

当0<a<1时，y关于u为减函数，

∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；

当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．

（三）操作演练  素养提升

1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0                B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0              D．0<a<1，b<0

2.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)

A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数       B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数

C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数       D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

3.函数y＝的单调递增区间为(　　)

A.(－∞，＋∞)   B.(0，＋∞)

C.(1，＋∞)   D.(0，1)

4. 方程42x－1＝16的解是________.

5. 不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.

答案　（1）D   （2）D　（3）A  （4）x＝　 （5）{x|x<1}

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

四、作业布置

完成教材：第118页 练习  第2题

第118页   习题4.2  第3,6,9,10题

五、课堂记录

六、教学反思