高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数教学设计及反思，共15页。教案主要包含了设计意图，类题通法，延伸拓展等内容，欢迎下载使用。

《4.4.2 对数函数的图象和性质》教学设计
一．教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第四节《对数函数》（第二课时）。是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。

二，学情分析

学生已经学了对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。
三．学习目标

1、 掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题培养学生实际应用函数的能力.
2、 经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。
3、 在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯，培养学生数学抽象、数学建模的核心素养．
四．教学重点
重点：对数函数的图象和性质。
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．
五．教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
【想一想】我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？
提示：研究指数函数和对数函数的方法是相同的.
2. 探索交流，解决问题
【问题1】 在同一坐标系内用描点法画出函数和的图象。
列表

描点并连线：

【思考1】通过上述过程，说出这两个函数图象从左到右的变化趋势？
【提示】 这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
【思考2】（1）在所画函数和图象的基础上,再画出函数和的图象，观察新画出的这两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征。
（2）通过上述过程，你发现了什么？
【提示】（1）

函数 和的图象从左到右是下降的.
函数和的图象关于x轴对称,同样,函数和的图象也关于x轴对称.
（2）这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定点(1,0)
【设计意图】
由问题引发学生思考：类比指数函数的研究方法，做出对数的图象，得出性质，培养学生数学抽象的核心素养。
（二）对数函数的图象及性质
1.对数函数的图象及性质
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图　象


a的范围
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数

2.点睛之笔：
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行;底数若是大于1, 图象从下往上增;底数0到1之间, 图象从上往下减;无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
【做一做】 1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　B. C.e D.
2．y＝log2x的图象与的图象关于________对称．
3．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点________．
4．log23.4与log28.5的大小关系为________．
解析：1．AC 函数图象是单调递增的，所以底数大于1.
2．x轴 两个对数函数的底数互为倒数，所以关于x轴对称。
3．(1,1) 4．log23.4＜log28.5 函数log2x是单调递增函数。
【设计意图】
通过具体的例子，让学生加深对对数函数图象及性质的理解。
（三）反函数
【思考3】（1）在同一坐标系内用描点法画出函数y＝2x图象与y＝log2x的图象之后，说出这两个函数图象之间有什么关系。
提示：图象如图

图象关于y＝x对称
（2）对数函数中两个变量和函数值的取值范围分别是什么？有什么关系？
提示：变量x的取值范围与指数函数中的y的取值范围相同，即(0,+∞).变量y的取值范围与指数函数中的x的取值范围相同,即为R.
【设计意图】
让学生经历从特殊到一般的归纳过程，得出反函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
特别提醒：
互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称．
原函数y＝ax的点(x0，y0)，则(y0，x0)在y＝logax上．
【做一做】 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，)，则a＝________.
提示：因点(，)在y＝f(x)的图象上，所以点(，)在y＝ax的图象上，则有，又因a>0，所以a2＝2，a＝.
【设计意图】
通过具体的例子，使学生掌握反函数的概念.
（四）对数函数图象及性质的应用
1.对数函数的图象
例1 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．

(2)函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________．
(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
解：(1)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.
过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0.
(2)当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2).
(3)第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)；
第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)；
第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③)．

【类题通法】
1.含绝对值的函数图象的变换
含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称．
2．对数函数y＝logax的底数a越大，函数图象在x轴上方部分越远离y轴的正方向，即“底大图右”，如图所示．

3.两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①、②.

巩固练习1. 作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解：先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).



图① 图② 图③
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
2.对数函数单调性的应用
（一）比较大小
例2 比较下列各组数的大小．
(1)与；(2)3与3；(3)loga2与loga3.
解：　(1)y＝x在(0，＋∞)上单调递减，又因为＜，所以＞.
(2)法一：log3－log3＝－＝.
∵y＝lg x是增函数，∴lg 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝logx的图象在y＝logx
图象的上方，所以log3＜log3.
(3)当a＞1时，y＝logax为增函数，所以loga2＜loga3；
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，所以loga2＞loga3.
【类题通法】对数值比较大小的常用方法
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．
(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
巩固练习2.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)log3π，logπ3.
解：(1)因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3 (2)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
（二）解不等式
例3(1)解不等式log2(x＋1)>log2(1－x)；
(2)若loga<1，求实数a的取值范围．
解： (1)原不等式等价于，解得0 (2)若a>1，则loga<1＝logaa，∴a>1.
若0 综上所述：实数a的取值范围是∪(1，＋∞)
【延伸拓展】将本例(1)改为loga(x＋1)＞loga(1－x)，求解x的集合．
解：当a＞1时，，得解集为(0,1)．
当0＜a＜1时，，得解集为(－1,0)．
【类题通法】对数型不等式的解法
(1)logaf(x)1与不等式组同解．
(2)logaf(x) (3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0 巩固练习3.(1)已知loga＞1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．
解：(1)由loga＞1得loga＞logaa.
①当a＞1时，有a＜，此时无解．
②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.
∴a的取值范围是.
(2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)
得解得x＞1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．
（三）函数y＝logaf(x)单调区间求法
例4 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间．
[解：　由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为.
①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数，
∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数．
②0 ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数．
综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0 【类题通法】对数型y＝logaf(x)复合函数的单调性，如果定义域为D.

y＝logaf(x)的增区间
y＝logaf(x)的减区间
a>1
定义域内f(x)的单调增区间
定义域内f(x)的单调减区间
0 定义域内f(x)的单调减区间
定义域内f(x)的单调增区间
特别提醒：树立对数函数定义域优先的原则.
巩固练习4.求函数f(x)＝log2(x2－1)的单调区间．
解：令x2－1＞0，∴x＞1或x＜－1.a＝2＞1，
设u＝x2－1，当x＞1时，u＝x2－1为增函数．
∴f(x)＝log2(x2－1)的增区间为(1，＋∞)．
当x＜－1时，u＝x2－1为减函数．
f(x)＝log2(x2－1)的减区间为(－∞，－1)．
3. 函数y＝logaf(x)的最值与值域
例5.求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．
[解：]　(1)设u＝x2＋4≥4.而y＝log2u是增函数．y≥log24＝2.
∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.令t＞0，－1＜x＜3.则0＜t≤4.
又∵y＝logt为减函数．∴y≥log4＝－2
∴函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
【类题通法】求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．不确定函数的单调性时要分类讨论。
巩固练习5.函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
[解：　当a＞1时，因为函数 y＝logax(a＞0且a≠1)在[[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.
当0＜a＜1时，y＝logax在[2,4]上的最大值为loga2，最小值为loga4，
∴loga2－loga4＝1，∴loga＝1，∴a＝.
综上，a＝2或a＝.
4.反函数的应用
例6. 设函数y＝－x＋2与函数y＝10x和y＝lg x分别交于A、B两点，若设A(x1，y1)、B(x2，y2)，求x1＋x2的值．
[解：　∵y＝10x与y＝lg x是互为反函数．其图象关于y＝x对称．
A(x1，y1)在y＝10x上．B(x2，y2)在y＝lg x上．
∴A、B两点关于y＝x对称．即B(y1，x1)，∴x1＋x2＝x1＋y1.
又∵A(x1，y1)在y＝－x＋2上∴y1＝－x1＋2∴x1＋y1＝2.∴x1＋x2＝2.
【类题通法】利用反函数的性质解决问题
1. 互为反函数的两个函数定义域和值域互换；
2.互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，图象上的点也关于直线y＝x对称。
巩固练习6.与函数的图象关于直线y＝x对称的函数是(　　)
A．y＝4x B．y＝4－x C．y＝logx D．y＝log4x
解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称．故选C．
（五）操作演练 素养提升
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)

2.（多选题）（2021·辽宁丹东市高一期末）已知点在对数函数的图象上，则（　　）
A． B．
C．若，则 D．函数的单调递增区间为
3.函数y＝loga＋1过定点________．
【解析】 1. A f(－x)＝ln((－x)2＋1)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称．
又x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，且过点(0,0)，所以A图符合．
2.BD 设对数函数，因为点在对数函数的图象上，所以，解得，所以，
对于A：，故A不正确；
对于B：，所以，故B正确；
对于C：在上是增函数，所以，而，所以，故C不正确；
对于D：令，解得或，且在上单调递增，又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为，故D正确。
3.(2,1) 令＝1，得x＝2.
【设计意图】
通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：

2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】
通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。


六．布置作业

完成教材：第135页 练习1,2,3
第140页 习题4.4 题1,2,4,7,12,13.