高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念第2课时教学设计

《5.2.1三角函数的概念》

第2课时  三角函数值的符号及公式一  教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

通过上一节课的学习，将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系，那么任意角的三角函数在四个象限的符号、终边相同的角的三角函数值之间的关系都是学生比较感兴趣的问题，学习起来比较容易，是下一步研究三角函数性质的基础。

三、学习目标

1.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，培养数学抽象的核心素养；

2.掌握公式一并会应用，提升数学运算的核心素养。

四、教学重点

重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.

      利用公式一进行化简求值。

难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律；

公式一的识记与应用．

五、教学过程

（一）新知导入

【探究1】根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin α,cos α,tan α在不同象限内的符号吗?

【提示】根据各个象限点的坐标的符号去探究。

当α在第一象限时,sin α>0, cos α>0, tan α>0;

当α在第二象限时,sin α>0, cos α<0, tan α<0;

当α在第三象限时,sin α<0, cos α<0, tan α>0;

当α在第四象限时,sin α<0, cos α>0, tan α<0.

【探究2】30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?

【提示】终边相同,所以角的终边与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.

【设计意图】

通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。

（二）三角函数值的符号

正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域

三角函数值在各象限的符号：

正弦:一二象限正,三四象限负;

余弦:一四象限正,二三象限负;

正切:一三象限正,二四象限负.

简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

【思考1】若sin α>0,则α的终边落在第一象限或第二象限内？

【提示】若sin α>0,则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内,有可能终边落在y轴的非负半轴上.

【做一做1】sin 145°     0， cos(-210°)      0， tan 405°      0.

【做一做2】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.(　　)

(2)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．(　　)

【设计意图】通过探究让学生理解判断任意角的三角函数值的正负，提高学生解决问题的能力。

（三）公式一

【探究1】终边相同的角的同名三角函数值相等吗?

【提示】相等.由三角函数的定义可知,终边相同的角的三角函数值相等.

【探究2】若sin α=sin β,则一定有α=β吗?

【提示】不一定.由终边相同的角的表示可知,当α与β的终边相同时,它们的正弦值虽然相等,但这两个角不一定相等.

【探究3】　同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？

【提示】不一定，如sin 30°＝sin 150°＝.

公式一：

(1)    语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等．

(2)    式子表示：

sin(α＋k·2π)＝sinα，

cos(α＋k·2π)＝cosα，

tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.

(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相

等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．

(2)公式一的作用

利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.

【做一做1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.(　　)

(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.(　　)

【做一做2】tan765°=     ；cos 405°=      ；sin =     .

【答案】1； ；

（四）典型例题

1.三角函数值的符号判断

例1. 确定下列式子的符号：

(1) tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.

【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.

∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.

(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，

∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.从而＞0.

(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.

从而tan 120°sin 269°＞0.

【类题通法】判断三角函数值在各象限符号的攻略

(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；

(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；

(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．

提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．

【巩固练习1】 (1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限．

(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan ；③cos 5.

【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P(cos α，tan α)在第四象限．

(2)　①∵180°<183°<270°，在第三象限，∴sin 183°<0；

②∵<<2π，在第四象限，∴tan <0；③∵<5<2π，在第四象限∴cos 5>0.

2.公式一的应用

例2. 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；

(2)sincos＋tancos.

【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)

＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.

(2)原式＝sincos＋tan·cos

＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.

【类题通法】利用诱导公式一进行化简求值的步骤

(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.

(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．

(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．

【巩固练习2】化简下列各式：

(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；

(2)sin＋cosπ·tan 4π.

【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)

＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.

(2)sin＋cosπ·tan 4π

＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.

（五）操作演练  素养提升

1．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

2.若sin θ cos θ>0，则θ在(　　)

A．第一、二象限  B．第一、三象限

C．第一、四象限  D．第二、四象限

3.若点P坐标为(cos 2 014°，sin 2 014°)，则点P在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

4.sinπ的值为________．

【答案】1.D  2.B  3.C  4.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第182页  练习     第1，2，3,4,5题

         第185 页   习题5.2 第5,8,10题