高中5.3 诱导公式第1课时教案设计

《5.3诱导公式》

第1课时 诱导公式二~四  教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第三节《诱导公式》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

上一节学习了公式一，如果角的终边落在其它象限，该如何求出三角函数值？由此引导学生思考，任意角的三角函数值的求法，学生学习起来还是比较感兴趣的。再学习的过程中，借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,体现了数形结合的思想。

三、学习目标

 1.借助单位圆的对称性，推导出正弦、余弦、正切的第二、三、四组的诱导公式，培养数学抽象的核心素养；

2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，提升数学运算的核心素养；

3.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题，强化逻辑推理的核心素养。

四、教学重点

重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？

2.探索交流，解决问题

【思考1】终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?

【提示】相等

【思考2】角 -α与α的终边 有何位置关系?

【提示】终边关于x轴对称

【思考3】角与α的终边 有何位置关系?

【提示】终边关于y轴对称

【思考4】角与α的终边 有何位置关系?

【提示】终边关于原点对称

【思考5】  已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?

【提示】点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y)

        点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y)

        点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)

【设计意图】通过角的终边的对称关系，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

（二）诱导公式

【探究1】 如图， 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？

【 提示】角π +  与角 的终边关于原点O对称，

，

公式二：

sin(π + ) = sin ， cos(π + ) = cos ，tan(π + ) = tan 。

【做一做】cos 210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-     .

sin1 320°=sin(3×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-      .

【探究2】角与的三角函数值之间有什么关系？

【提示 】角 与角 的终边关于x轴对称，有。。     

公式三：  sin() = sin ， cos() =  cos ， tan() = tan 。

【做一做】①tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.

②sin=- sin   =-    .

【探究3】角与的三角函数值之间有什么关系？

【提示 】角与角的终边关于轴对称，故有

公式四：sin(π - ) = sin ，

cos(π - ) = cos ，tan(π - ) = -tan 。

【做一做】①cos(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.

②sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)

＝－sin 60°＝－.

【思考】这四个诱导公式有什么规律？

【提示】的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．

总结为一句话：函数名不变，符号看象限。

【探究】任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤？

【提示】利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.

【设计意图】通过探究让学生理解任意角的三角函数定义，培养数学抽象的核心素养。

（三）典型例题

1.给角求值

例1. 求下列各三角函数的值：

(1)sin(－945°)；(2)cos(－)；(3)sinπ·cos(－π)·tanπ.

【解析】　(1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)

＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.

法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝.

(2)法一：cos(－)＝cos ＝cos(＋4π)＝cos ＝cos(π＋)＝－cos ＝－.

法二：cos(－)＝cos(－6π)＝cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－.

(3)原式＝sin·cos(2π＋)·tan(4π＋)＝sin·cos·tan

＝sin(π＋)·cos(π＋)·tan(π＋)＝(－sin)·(－cos)·tan＝(－)×(－)×1＝.

【类题通法】利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：

【巩固练习1】求下列各三角函数式的值：

(1)sin(－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin.

【解析】　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin 60°＝.

(2)因为＝6π＋，所以cos ＝cos ＝－.

(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0.

(4)tan ·sin＝tan·sin＝tan ·sin ＝×＝.

2.化简、求值

例2. 化简：（1）.（2）.

【解析】（1）原式＝＝

＝＝－.

(2)    ＝＝1.

【类题通法】化简求值的方法

用诱导公式化简求值的方法：

  1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.

  2.kπ±α 这套诱导公式，运用时公式不变名，符号看象限.

【巩固练习2】化简：(1)；

(2).

【解析】　(1)＝＝＝＝1.

(2)原式＝＝＝＝－1.

3.给值求值（条件求值）

例3. 已知cos＝，求cos－sin2的值．

【解析】因为cos＝cos＝－cos＝－，

sin2＝sin2＝1－cos2＝，

所以cos－sin2＝－－＝－.

【类题通法】解决条件求值问题的策略

(1)  解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

【巩固练习3】（1）已知sin(－x)＝，且0＜x＜，则tan(π＋x)＝________.

【解析】∵0＜x＜，∴－＜－x＜.

又sin(－x)＝＞0，∴0＜－x＜.

cos(π＋x)＝cos[π－(－x)]＝－cos(－x)＝－＝－＝－，

sin(π＋x)＝sin[π－(－x)]＝sin(－x)＝，

∴tan(π＋x)＝＝＝－.

【答案】　－

（2）已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　)

A.        B．－       C．±      D.

【答案】B

【解析】因为cos(π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，

因为α是第一象限角，所以sin α>0，

所以sin α＝＝＝.

所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.

（四）操作演练  素养提升

1．sin 600°的值为(　　)

A．        B．－       C．         D．－

2．cos 1 030°＝(　　)

A．cos 50°  B．－cos 50°   C．sin 50°     D．－sin 50°

3．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于(　　)

A．π－4　　 B．4　　　

C．－4　　　 D．4－π

4.已知sin α＝，则sin(π－α)＝________.

【答案】1.D  2.A  3.3  4. 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第191页  练习     第1，2，3,4题

         第194 页   习题5.3  第2,3题