高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时教学设计

《5.3诱导公式》

第2课时 诱导公式五、六  教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第三节《诱导公式》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

上一节学习了公式一~四，如果角的终边落在其它象限，该如何求出三角函数值？由此引导学生思考，任意角的三角函数值的求法，学生学习起来还是比较感兴趣的。再学习的过程中，借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,体现了数形结合的思想。

三、学习目标

 1.借助单位圆的对称性，推导出正弦、余弦、正切的第五、六组的诱导公式，培养数学抽象的核心素养；

2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，提升数学运算的核心素养；

3.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题，强化逻辑推理的核心素养。

四、教学重点

重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

五、教学过程

（一）新知导入

复习诱导公式一~四：

公式一：

，其中，。

终边相同的角的同一三角函数值相等.

公式二:  .

公式三： .

公式四： .

【设计意图】通过复习上一节学习的诱导公式五、六，用类比的方法、联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

（二）诱导公式五、六

【探究1】 观察如图单位圆及角α与 -α的终边.角α的终边与  -α的终边有何关系?

【提示】它们的终边关于y=x对称.

【探究2】若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为

(x,y),那么角   -α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么?

【提示】由于角α的终边与角   -α的终边关于y=x对称,

所以P2与P1关于y=x对称,所以P2点的坐标为(y,x).

【探究3】   -α与α的正弦、余弦值有何关系?

【提示】sin （ -α）=cos α,cos （ -α） =sin α.

公式五：  

【做一做1】若α＋β＝且sin α＝，则cos β＝        .

答案　

【做一做2】已知sin α＝，则cos＝        .

答案　

【探究4】作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么结论？点p5坐标是什么？

【提示】，

【探究5】 +α与α的正弦、余弦值有何关系?

【提示】sin （ +α）=cos α,cos （ +α） = - sin α.

公式六： 

【做一做3】若cos A＝，那么sin＝        .

答案　

【探究7】你能用公式五推导公式六吗？

【提示】sin＝sin＝sin＝cos α，

cos＝cos＝－cos＝－sin α.

【思考1】你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？

【提示】  的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

【思考2】诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？

【提示】口诀：奇变偶不变，符号看象限

口诀的意义：

【设计意图】通过探究让学生理解诱导公式，培养数学抽象的核心素养。

（三）典型例题

1.化简求值

例1. 已知

【解】因为，所以,

又因为所以在第二象限.所以

易知

所以

【类题通法】用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

（3）巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系.在转化过程中可以由已知到未知,也可以由未知索已知.常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．

【巩固练习1】已知cos,求cos,sin,cos的值.

【解】cos=cos=-cos=-.

sin=sin=cos.

cos=cos=cos.

2.证明

例2. 求证：＋＝.

【证明】　左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边，

∴原等式成立．

【类题通法】三角恒等式的证明策略

对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

【巩固练习2】求证：＝.

【证明】　左边＝＝＝＝，

右边＝，所以原等式成立．

3.诱导公式的综合应用

例3.　已知cos α＝－，且α为第三象限角．

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值．

【解】　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.

(2)f(α)＝＝tan α·sin α＝·sin α＝＝2×＝－.

变式探究1．本例条件不变，求f(α)＝的值．

【解】　f(α)＝＝sin α＝－.

变式探究2．本例条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．

【解】由题意知m2＋2＝1，解得m2＝，

因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－，

所以sin α＝，cos α＝－.

原式＝＝＝－.

【巩固练习3】已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

【解】因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，

所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.

（四）操作演练  素养提升

1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)

A．a  B．－a  C．a2  D.

2.若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

3．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝        .

4.已知sin α＝，则cos＝        .

【答案】1.A  2.A  3. 4.－

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第193页  练习     第1，2，3题

         第194 页   习题5.  第5,6,7,8题