2021-2022学年山东省济宁市邹城市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济宁市邹城市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 菱形和矩形一定都具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相平分

3. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4. 已知▱中，对角线，交于点，如果能够判断▱为矩形，还需添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若，则的结果是(    )

A.  B.  C. 或 D.

8. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 观察下列等式：
    第个等式：
    第个等式：
    第个等式：
    第个等式：
    按照上述规律，计算：(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 在实数范围内，若有意义，则的取值范围______．
12. 在▱中，若，则的度数为______．
13. 菱形的两条对角线，，则菱形的面积是______．
14. 方程的解是______．
15. 中，，，分别为边，，的中点，已知，，，则线段的长为______．
16. 若，为实数，且与互为相反数，则的值为______．
17. 如图，四边形是边长为的正方形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在对角线上，且，连接并延长交边于点，则点的坐标为______．

18. 如图，在等腰三角形纸片中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则拼成的各种平行四边形中，其中最长的对角线的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共46分）

19. 计算下列各题：
    ；
     
20. 如图，在▱中，于点，于点，求证：．

21. 已知，，求下列各式的值：
    ；
    ．
22. 如图，把矩形纸片进行折叠，已知该纸片的长为，宽为．
    若折叠后点和点重合，折痕交边，分别于点，，如图，求证：四边形为菱形；
    若折叠后点落在边上的点处，折痕为为折痕与边的交点，如图，求的长．
     

23. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为，每个小正方形的顶点叫格点．请完成如图所示的画图，要求：仅用无刻度的直尺，不写画法，保留必要的画图痕迹．
    在图中画出一条长为的线段分别为格点
    在图中画出一个以格点为顶点，以为一边的正方形；
    在图中，，分别为格点，画出线段的垂直平分线．
     

24. 已知菱形和菱形有公共的顶点，且，连接，．
    若点在上，如图，试猜想与有怎样的数量关系直接写出关系，不用证明；
    在图的基础上，将菱形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图你认为中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    在的条件下，如果，如图，你认为和是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B.由于分母含有无理数，因此它不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C.由于被开方数是分数，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D.含有能开得尽方的因数，即，所以不是最简二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：分母中不能含开得尽方的因数或因式；根号中不含分母；分母中不含根号．逐一进行判断．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
根据矩形的对角线的性质对角线互相平分且相等，菱形的对角线性质对角线互相垂直平分可解．
此题主要考查矩形、菱形的对角线的性质．熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：添加，
理由是：四边形是平行四边形，
，，
，
，
▱为矩形，
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形得出即可．
本题考查矩形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
≌；
；
；
；
；
故选：．
首先证≌，由此可得出，由此可将阴影部分的面积转化为的面积．
此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法．
 

6.【答案】 

【解析】解：不能合并，故选项A错误；
不能合并，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式的性质化简即可。
【解答】
解：，，
，
故选D．
【点评】
本题主要根据二次根式的性质进行化简．掌握二次根式的性质是关键。  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
根据折叠的性质得到，，易证≌，即可得到结论；易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出．
【解答】
解：矩形沿对角线对折，使落在的位置，

，，
又四边形为矩形，
，
，
而，
在与中，
，
≌，
；
四边形为矩形，
，，
≌，
，
设，则，，
在中，，即，解得，
则．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，


，
，
故选：．
根据已知可得，从而可得，然后利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方根，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：第个等式：
第个等式：
第个等式：
第个等式：
按照上述规律，
．
故选：．
直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
．
故答案为．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，，
菱形的面积为，
故答案为：．
根据菱形的性质得出面积，代入求出即可．
本题考查了菱形的性质，能知道菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键．
 

14.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
利用直接开平方法解方程．
【解答】
解：，
，
，
所以，．
故答案为，．  

15.【答案】 

【解析】解：，分别为边，的中点，，
，
，，
，
，
为斜边的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，
，
，，
，
故答案为：．
根据绝对值、算术平方根的非负性求出、的值，再代入计算即可．
本题考查绝对值、算术平方根的非负性，求出、的值是正确解答的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是边长为的正方形，
，，
，
，
正方形的边，
∽，
，
，
解得，
，
点的坐标为
故答案为：
根据正方形的对角线等于边长的倍求出，再求出，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再求出，即可得到点的坐标．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例求出的长是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
边，，
，
，
如图所示：四边形是矩形，则其对角线的长为；
如图所示：，连接，过点作于点，
则，，
；
如图所示：，
由题意可得：，，
，
其中最长的对角线的值为．
故答案为．
利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．
此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，再进行二次根式的乘法与除法的运算，最后进行加减运算即可；
利用完全平方公式进行运算，化简，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又于点，于点，
，
在和中，
≌，
． 

【解析】利用平行四边形的性质可得，，再利用平行线的性质可得，结合判定≌，进而可得．
此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．
 

21.【答案】解：，，




，
的值为；
，，






，
的值为． 

【解析】利用平方差公式，可得，然后把，的值代入进行计算即可解答；
利用完全平方公式，可得，然后把，的值代入进行计算即可解答．
本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，
矩形折叠使，重合，折痕为，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形为菱形；

解：在中，，
，
在中，
，
解得．
故C的长是． 

【解析】根据折叠的性质得，，，再利用得到，则可根据“”判断≌，得到，加上，，于是可根据菱形的判定方法得到四边形为菱形；
在中，根据勾股定理可求，进一步得到，再在中，根据勾股定理可求的长．
本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．
 

23.【答案】解：线段如图所示；
正方形如图所示；
线段的垂直平分线如图所示；
 

【解析】本题考查作图应用与设计、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据，利用数形结合的思想解决问题即可；
作边长为的正方形即可；
根据线段的垂直平分线的判定定理，先作出垂直平分线上的两点，构造直线即可
 

24.【答案】解：，
理由如下：四边形和四边形都是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
；
成立，
证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
；
，
证明：延长线段、交于点，

，
，
由可知，≌，
，
，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
． 

【解析】利用定理证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
结合图形得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
延长、交于点，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可．
本题是四边形综合题，考查的是菱形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．