2021-2022学年江苏省常州市金坛区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省常州市金坛区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 以下调查中，适宜全面调查的是(    )

A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率
D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

2. 下列事件是必然事件的是(    )

A. 没有水分，种子发芽
B. 如果、都是实数，那么
C. 打开电视，正在播广告
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

3. 如图，▱的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 菱形的两条对角线的长分别是和，则这个菱形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题是真命题的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是正方形
B. 对角线相等的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形

7. 如图，在矩形中，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，把含有角的直角三角尺放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在边和上，与交于点若是的中点，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 某班按课外阅读时间将学生分为组，第、组的频率分别为、，则第组的频率是______ ．
10. 一只不透明的口袋中装有只黄色乒乓球和只白色乒乓球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，揽到______色乒乓球的可能性大．
11. 如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点，的横坐标分别是，，则点的坐标是______．

12. 如图，已知四边形是平行四边形，从，，中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是______ 限填序号．

13. 如图，在矩形中，是边的中点，以为斜边在矩形外作等腰直角三角形，连接若，则______

14. 如图，在平行四边形中，对角线，，垂足为，若，则平行四边形的面积是______．

15. 如图，四边形是菱形，，延长到点，平分，过点作，垂足为若，则对角线的长是______．

16. 如图，正方形的边长是，点、分别是边、上的点，且，若点是对角线上一个动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共68分）

17. 为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为、、、，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
    
    请解答下列问题：
    本次问卷共随机调查了______学生，扇形统计图中选项对应的圆心角为______度；
    请补全条形统计图；
    若该校有名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
18. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：

请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______精确到；
若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
小明用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．

19. 如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点，交于点，交于点求证：．

20. 如图，已知四边形是平行四边形，是线段的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，求证：四边形是矩形．

21. 如图，在▱中，．
    尺规作图：在上截取，使得；作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
    在所作的图形中，连接交于点，猜想的形状，并证明你的结论．

22. 如图，在矩形中，点在边上，，且，垂足为．
    求证：；
    若，，求矩形的面积．

23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，，．
    判断四边形的形状，证明你的结论；
    若，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．

24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，是一次函数图象上一个动点，将绕点顺时针方向旋转得到点、、分别与点、、对应，边恰好落在轴上．
    若点，直接写出点的坐标是______；
    如图，若点，求点的坐标；
    若点，点，直接写出与的函数表达式是______．
    若在平面内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；
B.调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C.调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：．
根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

2.【答案】 

【解析】解：、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果、都是实数，那么，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和邻补角互补解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质得出是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，
根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题为假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题为假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题，不符合题意；
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，为真命题，符合题意；
故选：．
根据几种特殊的平行四边形的判定及性质逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握几种特殊的平行四边形的判定及性质等知识是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，
沿翻折，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
设，则
，
在中，，
即，
解得：，
的长为，
故选：．
根据折叠性质可得，再根据勾股定理可得，由矩形性质可得，设为，由折叠性质可得，再根据勾股定理求解即可．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出，再利用勾股定理求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
在中，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而得出，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，发现是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由各组频率之和为得，
，
故答案为：．
根据各组频率之和为，可求出答案．
本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于”是正确解答的前提．
 

10.【答案】黄 

【解析】解：口袋中装有只黄色乒乓球和只白色乒乓球，
摸到黄色乒乓球的可能性为，白色乒乓球的可能性为，
所以摸到黄色乒乓球的可能性大，
故答案为：黄．
分别求得可能性的大小，然后比较即可．
考查了可能性的大小，解题的关键是了解可能性大小的求法，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：的边，的中点，的横坐标分别是，，
，
，，
，
点的坐标是，
故答案为：．
根据题意可知为的中位线，再利用三角形的中位线定理直接求解即可．
本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
因此时，四边形还是平行四边形；
故答案为：．
由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟记“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
点是边的中点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，垂足为，，
的面积，
四边形是平行四边形，
▱的面积
故答案为：．
根据平行四边形的性质和面积公式解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的面积公式解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接交于点，由菱形的性质得出，，，，由直角三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作的垂线交于点，连接交于点，过作的垂线交于点，则即为所求，
四边形是正方形，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
过作的垂线交于点，连接交于点，过作的垂线交于点，则即为所求，根据正方形的性质可知是等腰三角形，，，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．
本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：名，，
故答案为：名，；
人，
补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计该校名学生中选择“不了解”的有人． 

【解析】“比较了解”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出“一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数；
求出“非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中“不了解”的占，因此估计总体名学生的是“不了解”的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：摸到白球的频率约为，
当很大时，摸到白球的频率约为，
故答案为：；
摸到白球的频率约为，
从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是，
故答案为：；
摸到白球的频率约为，
转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为，如图所示：

根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率．
由表中数据即可得；
根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是对角线的中点，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，进而理由全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且．
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，线段，射线即为所求；

结论：是直角三角形．
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明，利用平行线的性质再证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】证明：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
由勾股定理求出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是平行四边形，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是菱形，
证明：，，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可；
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出，解答．
 

24.【答案】   

【解析】解：对于一次函数，
令，则，
．
令，则，
，
，
，
若点，由题意：点与点重合，
，
．
故答案为：；
连接，，过点作轴于点，轴于点，如图，

由题意得：，．
点是一次函数图象上一个动点，
设，此时，
，
轴，轴，，
四边形为正方形，
．
在和中，
，
≌．
，
点，
．
，
，
，
．
解得：，
；
当点在第一象限时，
由知：，如图，

点，点，
，，
，
；
当点在第一象限时，
连接，，过点作轴于点，轴于点，如图，

同的方法可得：≌，
，
点，点，
，，
，
，
，
．
综上，与的函数表达式是．
故答案为：；
当四边形为菱形时，如图，

，，
，
，
，
．
由的结论可得：
，
．
；
当四边形为菱形时，如图，

则，
，
．
由的结论可得：
，
．
；
当四边形为菱形时，如图，

则，
，
由的结论可得：
，
．
；
当四边形为菱形时，如图，

连接，则，，
，，
∽，
，
．
．

由的结论可得：
，
．

综上，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为或或或
利用旋转的性质求得线段即可；
连接，，过点作轴于点，轴于点，通过证明≌，得到，设，此时，，利用，列出关于的方程即可求解；
分点在第一象限和点在第三象限两种情况讨论解答，利用中的方法解答即可；
分四种情形讨论解答，画出符合题意的图形，通过计算的长度得到点的坐标，利用的关系式求得值，即可得到点坐标．
本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，菱形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．