人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教学设计，共11页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第五节《函数的应用》（第二课时），是高中数学在函数的零点之后的内容。既渗透了逼近思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程，激发学生学习数学和应用数学的的意识，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养。
二、学情分析
学生已经学习了函数的零点及零点存在性定理，接着学习零点存在性定理的应用，让学生体会学习数学的乐趣，在解决问题的过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养。
三、学习目标
借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
经历探索用二分法求方程近似解的过程，从中感受逐步逼近的数学思想,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
让学生在探索过程中，感受“近似与精确”的相对统一，并体验成功的乐趣。
四、教学重点
重点：用二分法求函数零点近似值的步骤。
难点：“二分法”的形成过程．
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.
【想一想】你知道工人师傅是如何做到的吗？
提示：如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.
探索交流，解决问题
【问题1】上述问题中工人师傅从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.
【思考1】（1）上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
提示： 通过不断地把需要检测的范围一分为二进行检查.
（2）工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？
提示：确定故障所在的范围，来确定爬哪根电线杆子。
（3）如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？
提示：6次。
【设计意图】
由问题引发学生思考：通过将要检查的范围一分为二进行检查，进而向二分法靠拢，培养学生数学抽象的核心素养。
（二）二分法的概念
1.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.概念的深入探究
【思考2】（1）二分法所求出的方程的解都是近似解吗？
提示：不是的，如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.
（2）是否所有的函数都可以用二分法求近似零点？
提示：不是的，如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．如f(x)＝|x|
（3）用二分法最后一定能求出函数的零点吗？
提示：不能，只有达到精确度后，所得区间内任一数才均可视为零点的近似值．
（4）二分法的解题原理是什么？
提示：函数零点存在定理.
【做一做】1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
2．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是_____.
解：1．观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.
2．设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).
【设计意图】
通过具体的例子，让学生加深对二分法的理解。
（三）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
【思考3】（1） 用二分法求函数的零点时，函数需要满足什么条件呢？
提示：函数需要满足的前提条件是
(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断.(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
（2）在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，“若给木棒规定一个长度，是否就可以停止“取半？”同样给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算？”
提示：可以，所以二分法求函数的近似零点时，规定了精确度.
【设计意图】
让学生经历从具体的例子到概括解题步骤的过程，培养学生数学抽象的核心素养。
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b],验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
点睛之笔：
(1)以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来把关．
（2）二分法求函数零点的近似值时，将区间[a，b]至少等分次后，所得近似值的精确度达到精确度ε.
【做一做】 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )
A.1 B.－1
提示：x1＝eq \f(0＋0.5,2)＝0.25.
【设计意图】
通过具体的例子，使学生掌握用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤的取中点.
（四）用二分法求方程的近似解
1.二分法概念的理解
例1. 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4, 4 B．3, 4 C．5, 4 D．4, 3
解析：选D. 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
【类题通法】运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
巩固练习1.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
解析 选C.使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．
2.用二分法求函数的零点
例2. 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
【类题通法】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(3)确定函数的零点个数时，要结合函数的单调性。
巩固练习2. 证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).
解 设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.
又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2)，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
【类题通法】利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
巩固练习3. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1,4) B．(－2,1) C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)
解析 选D. 因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选D.
（五）操作演练 素养提升
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
2.（多选题）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是( )
A.y＝3x2－2x＋5； B.y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋1，x≥0，,x＋1，x<0，))；
C.y＝eq \f(2,x)＋1，x∈(－∞，0)； D.y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8.
3.某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至少等分________次后，所得近似值的精确度达到0.1.
【答案】 1. A 由图可知。
2.ABC 由y＝eq \f(1,2)x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值.
3.5 由eq \f(3－1,2n)<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.
【设计意图】
通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：

2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。
六、布置作业
完成教材：第146页 练习1,2
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375)
1.343 75
f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75)
1.328 125
f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125)
1.320 312 5
f(1.320 312 5)<0
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1