数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案设计

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案设计，共8页。教案主要包含了学情分析，学习目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
《4.5.1 函数的零点与方程的解》教学设计一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章 指数函数与对数函数的第五节 函数的应用（二）（第一课时）。以下是本单元《4.5函数的应用（二）》三个课时的安排： 第一课时第二课时第三课时课时内容函数的零点与方程的解用二分法求方程的近似解函数模型的应用所在位置教材第142页教材第144页教材第148页  新教材内容分析类比二次函数零点（本册书2.3）直接给出函数零点的概念，符合新课程标准的意图，又遵循了学生的认知规律，利于学生把握函数零点的本质按照用二分法求方程近似解的步骤一步步展开，既渗透了逼近思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程素材更加丰富，通过实例，引导学生从数学视角发现问题，提出问题，最终解决问题，让学生体会数学的来源与应用，丰富学生对数学的认知 核心素养培养为了建立求方程近似解的理论依据，研究从函数特征判定方程实数解的存在性，培养学生的数学抽象的核心素养；借助第一课时理论依据得到求方程近似解的二分法，强化学生的数学运算与逻辑推理的核心素养； 通过研究函数的实际应用，意在从现实背景体现函数的应用价值，提升数学建模的核心素养。教学主线方程 与 函数一次、指、对函数 二、学情分析     在教材第50页（2.3），学生已学习了二次函数的零点，且在此学习的过程中,已经初步理解了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为更深入的学习和理解函数零点提供了基础知识与认知.但对于其他方程（例如高次方程）与对应函数图象之间的关系，还没有准确的认识。且在函数零点存在定理的导出过程中，涉及到转化思想、数形结合思想，及借助计算工具（列表），或利用信息技术Geogebra画图过程，这是学生学习的一个重点和难点，且这些思想或是工具对后面二分法的学习也有一定的辅助作用。   三、学习目标 理解函数零点的概念，会求一些比较简单的函数的零点，达成数学抽象的核心素养.2. 理解方程的解、函数的零点、函数图象与轴交点的横坐标三者的关系，培养数学抽象的核心素养.3. 掌握函数零点存在定理，并能用该定理判断函数在区间内是否存在零点或零点所在区间，提升逻辑推理的核心素养.4. 通过函数零点的概念和函数零点存在定理的形成及应用，体会数形结合、函数与方程、转化与划归数学思想. 四、教学重难点重点：函数零点与方程的解之间的关系；求函数零点的方法；利用函数零点存在定理确定连续函数零点的大致区间.难点：发现与理解方程的解与函数零点的关系；探究函数零点存在定理的的认知过程. 五、教学过程（一）新知导入1. 创设情境，生成问题一枚炮弹发射后，通过落到地面击中目标，炮弹射高是，且炮弹距离地面的高度（单位：）与飞行时间（单位：）形成的函数关系式是【想一想】 利用函数解析式怎样求出这枚炮弹在哪一时刻落地？   探索交流，解决问题【问题1】  求出下列方程 的实数根并且画出其对应的函数 图象并且标出图象与 轴交点的横坐标.          【思考1】（1）方程 的根的个数与函数 与 轴交点的个数有什么关系？（2）方程 的根与函数与 轴交点的横坐标有什么关系？（3）对于上面问题1中的（4），既不会解方程，又不会函数图象，如何解决呢？【提示】  （1）方程 的根的个数与函数 与 轴交点的个数相同；（2）方程 的根与函数与 轴交点的横坐标相等。（3）对于问题1中的（4），我们后面会在函数零点存在定理的应用处讲到。【设计意图】通过问题与思考题的探究，引导学生得出函数零点的概念。问题1中（4）引出了本节课的主线，且为函数零点的转化作了铺垫。（二）函数的零点函数零点的概念：对于一般函数，把使的实数x叫做函数的零点.【思考2】   由函数零点的概念，你发现函数的零点与方程的根有什么关系？ 【提示】函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴有公共点。【做一做】   根据零点的定义判断对错与填空.（1）任何函数都有零点.（ ）（2） 函数 的零点是.（ ）（3）如右图所示，函数 的零点 是         .                   【提示】 （1）错，与x轴无交点的函数没有零点，如；                                                 （2）错，零点是函数与x轴交点的横坐标，而不是交点；（3） ，根据图象，函数与x轴的交点横坐标是 ，所以零点即为 。 【设计意图】通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，培养数学抽象的核心素养。 （三）函数的零点的求解例1  求下列函数的零点.（1）f(x)＝－8x2＋7x＋1； （2）f(x)＝1＋log3x. 【思维引导】  将函数的零点转化为方程的根或函数图象与x轴的交点求解。[解析](1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1．所以函数的零点为－和1．(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝．所以函数的零点为。【类题通法】因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点的方法是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点，或者先做出函数y＝f(x)的图象，判断函数图象与x轴的交点的个数，再解方程得到函数的零点．【情境问题】提示：，所以在26秒的时候落地。【巩固练习】 已知函数f(x)＝loga(2－x)．（1）求函数f(x)的定义域；    （2）求函数f(x)的零点． [解析](1)要使函数有意义，须2－x>0，解得x<2，∴函数定义域为(－∞，2)．(2)令f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1解得x＝1.∵1∈(－∞，2)，∴函数f(x)的零点为1.【设计意图】通过例题及练习的学习，使学生掌握求函数零点的方法，强化数学运算的核心素养。 （四） 函数零点存在定理【思考3】  下面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河?【探究】  如果函数在区间满足，是否一定推出函数在区间内有零点，进一步得到方程在区间内有根？若不能，请举出反例.      【提示】如果函数在区间满足，不一定推出函数在区间内有零点，进一步得到方程在区间内有根，例如函数，满足，作出函数图象为 由图象可知此函数没有零点。 【设计意图】通过问题探究，探究零点存在定理，使学生对不同条件函数的零点是否存在作出判断。 （五）函数零点存在定理1.零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0,_这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【辨一辨】  根据零点的存在性定理判断:（1）已知函数在区间，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（   ）（2）已知函数在区间，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（   ）（3）已知函数在区间[a,b]上连续并且有零点，则一定有.（  ）（4）已知函数在区间，则在区间内有且仅有一个零点.（   ）【提示】（1）错，（2）错，（3）错，（4）错【点睛】(1)           一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①函数f(x)在区[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)f(b)<0．这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立；(2)           若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且在两端点处的函数值f(a),f(b)  异号，则函数y=f(x)的图象至少穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数根。（3）零点的存在性定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数．【设计意图】通过问题探究，使学生理解零点存在性定理，提升数学抽象的核心素养。  零点存在性定理的应用例2   函数在区间上存在零点吗？  【思维引导】利用零点存在性定理，判断是否小于0. [解析]因为f=,所以,所以函数 在区间上存在零点。【延伸探究】（1）    若存在，在区间上是否只有一个零点？（2）    判断函数在区间上的零点的个数，还有别的方法吗？（3） 求方程 的实数解的个数。【提示】 （1）函数在上是单调递增函数，所以只有一个零点.（2）方法一、借助计算工具，列出x,y的对应值表，画出的图象.xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459 方法二、借助信息技术，比如GeoGebra,绘制的图象.方法三、由=0得,设=lnx,  =,分别作出两个函数的图象，如图，由图象可知两个函数图象只有一个交点，所以函数的零点只有一个。（3）    由函数零点概念知，方程只有一个实数解。 【类题通法】函数零点个数的判断方法：对于一般函数的零点个数的判断问题，不仅要用零点存在性定理来判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数：(1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则f(x)存在零点，且在(a，b)上只有1个零点．(2)若通过构造f(x)＝g(x)－h(x)，且g(x)、h(x)图象容易作出，则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数，通过作图容易得到f(x)零点个数． 【设计意图】体现信息技术的应用             强化函数零点的解决方法 - 培养学生数形结合、问题转化能力 【巩固练习2】   函数的零点所在的大致区间为（   ）  【解析】 所以函数的零点在区间内。答案：C 【设计意图】通过例题学习，使学生掌握函数零点存在性定理的应用，会判断零点所在的区间及零点的个数，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。 （六）操作演练  素养提升1．函数的零点为（   ）A.，  B.    C. 0,4     D.42. 函数的零点所在的一个区间是（   ）A.         B.     C.      D.  3.已知函数的图象是连续不断的,有如下对应值表：123456239-711-5-12那么函数在区间[1,6]上的零点个数是（   ） A.2个    B.3个     C.4个      D.至少三个 【答案】1.C  2.B  3.D 【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。  （七）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。