高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时教案，共11页。教案主要包含了教材分析，学情分析，学习目标，教学重点，教学过程，布置作业等内容，欢迎下载使用。


教学设计
一、教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第五节《三角恒等变换》。以下是本节的课时安排：
二、学情分析
本节的主要内容是由两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
三、学习目标
1、能够利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，并能应用，培养数学抽象的核心素养；
2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题，提升数学运算的核心素养。
四、教学重点
重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．
难点：二倍角的理解及其灵活运用．
五、教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？
2.探索交流，解决问题
【探究】利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？
【提示】sin 2α＝2sinαcsα
cs 2α＝cs2α－sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
【设计意图】
通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
注意：1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2 ·α,2n＋1)(n∈N*)．
2.二倍角公式的应用：
（1）．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
（2）．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs2α－sin2α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2α)＝tan 2α等．
（3）．二倍角公式变形用：①升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α，1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2.
②降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，(sin α±cs α)2＝1±sin 2α.
【做一做1】已知sin2 α＝513，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求sin 4α，cs 4α，tan 4α的值．
【解析】∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2α∈π2，π，∵sin2 α＝513，∴cs2 α＝−1213.
∴sin 4α＝2sin2 αcs 2α＝2×513×（−1213）＝−120169，
cs 4α＝2cs22α－1＝2×−12132－1＝119169，
∴tan 4α＝sin4αcs4α＝−120119.
（三）典型例题
1.给角求值
例1.(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)；(2)1－2sin2750°；
(3)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)；(4)cs 20°cs 40°cs 80°.
【解析】 (1)原式＝eq \f(2sin\f(π,12)cs\f(π,12),2)＝eq \f(sin\f(π,6),2)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝cs(2×750°)＝cs 1 500°＝cs(4×360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
(3)原式＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(4)原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)
＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°) ＝eq \f(1,8).
【类题通法】1．同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简．
2．注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决．
【巩固练习1】计算eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝________.
【解析】原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°,cs 12°)－3,22cs2 12°－1sin 12°)＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 12°2cs 24°sin 12°)＝eq \f(2\r(3)sin－48°,2cs 24°sin 12°cs 12°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,sin 24°cs 24°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
【答案】－4eq \r(3)
2.给值求值
例2.(1)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为________．
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0【解析】(1)∵α为锐角，∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(24,25)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝eq \f(7,25)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)
＝eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50).
(2)∵0∵cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))，
∴eq \f(cs 2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(24,13).
【答案】 (1)eq \f(17\r(2),50) (2)eq \f(24,13)
【类题通法】 (1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)当遇到eq \f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
【巩固练习2】已知0<α【解析】∵0<α∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(2\r(2),3).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝2×eq \f(2\r(2),3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4\r(2),9).
3.化简
例3. 已知α∈(0，π)，化简：eq \f(1＋sin α＋cs α·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cs α))＝________.
【解析】原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cs2\f(α,2))).
因为α∈(0，π)，所以cseq \f(α,2)＞0，
所以原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),2cs\f(α,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2)))
＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝cs α.
【答案】 cs α
【类题通法】三角函数式的化简要注意“三变”：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．
【巩固练习3】化简 eq \r(2－\r(2＋\r(2＋2cs α)))(3π＜α＜4π)．
【解析】原式＝eq \r(2－\r(2＋\r(4cs2\f(α,2))))(eq \f(3,2)π＜eq \f(α,2)＜2π)
＝ eq \r(2－\r(2＋2cs\f(α,2)))＝ eq \r(2－\r(4cs2\f(α,4)))(eq \f(3,4)π＜eq \f(α,4)＜π)
＝ eq \r(2＋2cs\f(α,4))＝ eq \r(4cs2\f(α,8))(eq \f(3,8)π＜eq \f(α,8)＜eq \f(π,2)) ＝2cseq \f(α,8).
4.证明
例4. 求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs 4x,1－cs 4x).
【证明】 法一(切化弦)：∵左边＝eq \f(sin2x,cs2x)＋eq \f(cs2x,sin2x)＝eq \f(sin4x＋cs4x,sin2xcs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x2－2sin2xcs2x,sin2xcs2x)
＝eq \f(1－2sin2xcs2x,sin2xcs2x)＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq \f(1－\f(1,2)·\f(1－cs 4x,2),\f(1,8)1－cs 4x)＝eq \f(23＋cs 4x,1－cs 4x)＝右边，
∴等式成立．
法二(弦化切)：∵右边＝eq \f(22＋1＋cs 4x,2sin22x)＝eq \f(22＋2cs22x,2sin22x)＝eq \f(21＋cs22x,4sin2xcs2x)
＝eq \f(1＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x) ＝eq \f(sin2x＋cs2x2＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)
＝eq \f(2sin4x＋cs4x,2sin2xcs2x)＝tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝左边，∴等式成立．
【类题通法】证明三角恒等式常用方法
1.从左边推到右边；
2.从右边推到左边；
3.找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．
【巩固练习4】求证：eq \f(1＋sin 4α－cs 4α,1＋sin 4α＋cs 4α)＝tan 2α.
【证明】法一：左边＝eq \f(1－cs 4α＋sin 4α,1＋cs 4α＋sin 4α)＝eq \f(2sin22α＋2sin 2αcs 2α,2cs22α＋2sin 2αcs 2α)
＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cs 2α,2cs 2αsin 2α＋cs 2α)＝tan 2α＝右边．
法二：左边＝eq \f(1＋sin 4α－1－2sin22α,1＋sin 4α＋2cs22α－1)＝eq \f(2sin 2αcs 2α＋2sin22α,2sin 2αcs 2α＋2cs22α)
＝eq \f(2sin 2αsin 2α＋cs 2α,2cs 2αsin 2α＋cs 2α)＝tan 2α＝右边．
（四）操作演练 素养提升
1.eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)的值等于( )
A．－eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
2．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°－cs 15°B．cs215°－sin215°
C．2sin215°－1D．cs215°＋sin215°
3．eq \f(2sin 2α,1＋cs 2α)·eq \f(cs2α,cs 2α)＝( )
A．tan 2α B．tan α C．1D．eq \f(1,2)
4.设sin α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＜α＜π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－2β)＝( )
A．－eq \f(24,7) B．－eq \f(7,24) C.eq \f(24,7)D．eq \f(7,24)
【答案】1.A 2.B 3.A 4.D
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
六、布置作业
完成教材：第223页 练习 第1，2，3,4,5题
第229 页 习题5.5 第5,7,10题
课时内容
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
简单的三角恒等变换
所在位置
教材第215页
教材第225页
新教材
内容
分析
教材首先利用了圆的旋转对称性推导了两角差的余弦公式，在此基础上，推到了两角和的余弦公式、两角和差的正弦、正切公式以及二倍角公式，是一个逻辑推理的过程，也是认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。教材重视对推出公式的理解，应用，重视推导过程所承载的育人功能。
教材通过例题展现三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据条件变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推理能力，数学运算素养。
核心素养培养
通过两角和差的公式以及二倍角公式的推导，培养数学抽象的核心素养；通过公式的应用，提升数学运算的核心素养.
通过三角恒等变换，培养数学运算的核心素养。
教学主线
两角差的余弦公式