人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时教学设计，共16页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4 ，巩固练习5等内容，欢迎下载使用。

一．教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第二节《函数的基本性质》。以下是本章的课时安排：
二，学情分析
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是从各种函数关系中，研究它们的共同属性；
从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力；
从学生的学习心理上看，学生头脑中有一些函数性质的实例，但并没有上升到“概念”的水平，对函数单调性的“定性”、“定量”描述有一些难度，学习本节内容，学生易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得新知识是学号本节课的情感基础。
三．学习目标
1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；
2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法，培养逻辑推理的核心素养；
4.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。
四．教学重点
重点：函数最值的定义；
函数最值的求法。
难点：单调性求最值；
讨论二次函数的最值问题．
五．教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？
【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。
2.探索交流，解决问题
【探究1】 观察下列两个函数的图象,回答有关问题:
【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?
【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;
图②中函数y=-x的图象上没有最高点.
【问题2】通过观察图①你能发现什么?
【提示】 对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。
【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.
【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?
【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.
图②中函数y=x的图象没有最低点.
【问题4】通过观察图①你能发现什么?
【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。
【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。
（二）函数的最值
最值的定义
【思考1】 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
【提示】 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
【设计意图】通过最值概念的学习，使学生利用数学语言表达，提高解决问题的能力。
（三）利用图象求函数的最值
例1. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x0≤x≤2，,\f(2,x－1)x＞2，))求函数f(x)的最大值、最小值．
[解析] 作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取最小值为－eq \f(1,4).
所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f(1,4).
【类题通法】图象法求函数最值的一般步骤
【巩固练习1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
[解析] y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
【设计意图】通过例题学习，使学生掌握利用图象求最值的方法，强化直观想象的核心素养。
（四）利用单调性求最值
例2. 求函数f(x)＝eq \r(x2＋9)－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．
[解析] 设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝eq \r(x\\al(2,1)＋9)－x1－eq \r(x\\al(2,2)＋9)＋x2
＝eq \f(x1－x2x1＋x2,\r(x\\al(2,1)＋9)＋\r(x\\al(2,2)＋9))＋x2－x1.
∵－4≤x1＜x2≤0，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在[－4,0]上是减函数．
∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.
【类题通法】 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
【巩固练习2】已知函数f(x)＝eq \f(2x,x＋1)，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．
[解析] 法一：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1,x1＋1)－eq \f(2x2,x2＋1)
＝eq \f(2x1x2＋1－2x2x1＋1,x1＋1x2＋1)
＝eq \f(2x1－x2,x1＋1x2＋1).
由于－3≤x1＜x2≤－2，
则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．
所以函数y＝eq \f(2x,x＋1)，x∈[－3，－2]是增函数．
又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
法二：f(x)＝eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,x＋1)＝2＋eq \f(－2,x＋1)，
所以f(x)图象的对称中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，
图象如图：
由图象可知f(x)在[－3，－2]的值域为[3,4]，
最小值为f(－3)＝3，最大值为f(－2)＝4.
【设计意图】让学生归纳利用单调性求最值的一般步骤，强化解题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。通过解题，帮助学生初步构建解题模式。
（五）利用单调性比较大小、解不等式
例3. (1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)．
试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．
[解析] 由题意知，f(x)的对称轴为x＝2，
故f(1)＝f(3)．
∵f(x)＝x2＋bx＋c，
∴f(x)在[2，＋∞)上为增函数．
∴f(2)＜f(3)＜f(4)，
即f(2)＜f(1)＜f(4)．
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．
[解析] 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜1－a＜1，,－1＜2a－1＜1，))解得0＜a＜1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
∴1－a＞2a－1，即a＜eq \f(2,3).②
由①②可知，0＜a＜eq \f(2,3)，
即所求a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))).
【类题通法】1．利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)．
(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．
2．利用函数单调性解不等式
与函数单调性有关的结论
正向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)；
当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)；
逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2；
当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．
【巩固练习3】已知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)[解析] ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,2x－3>0，,x>2x－3，))解得eq \f(3,2)【设计意图】 通过单调性的应用，培养学生逻辑推理的核心素养。
（六）函数最值的实际应用
例4. 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋4.2x，x∈N，0≤x≤5，,11，x∈N，x>5，))
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
[解析] (1)由题意得G(x)＝2.8＋x，
所以f(x)＝R(x)－G(x)
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋3.2x－2.8，x∈N，0≤x≤5，,8.2－x，x∈N，x>5.))
(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，
所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．
【类题通法】 (1) 解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
（2）实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
【巩固练习4 】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解析] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
【设计意图】通过解决最值在实际生活中的应用，培养学生数学建模的核心素养。
（七）二次函数最值问题
例5. 已知函数f(x)＝x2－2x－3，
（1）当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.
（2）若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
【解析】（1）f(x)=x2－2x－3=x−12−4,对称轴为x=1,开口向上.
f(x)在[-2,1]上递减,在[1,3]上递增,
所以f(x)min=f(1)=−4,又因为f(-2)>f(3),
所以f(x)max=f(-2)=5.
（2）∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当t≤1f(x)min＝f(1)＝－4.
③当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有
g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋2t－3，t≤－1，,－4，－11.))
【类题通法】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型
若对称轴x= −b2a 在区间[m,n]内,
则最小值为 f−b2a
最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= −b2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).
(2)若 −b2a (3)若 −b2a >n,则f(x)在[m,n]上是减函数,最大值为f(m),最小值为f(n).
【巩固练习5】已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
【解析】 因为f(x)=x−a2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.
当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,
解得a≥-3,即-3≤a<-1.
当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2-a2≥a,解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].
【设计意图】通过二次函数最值的探究，培养学生分类讨论的数学思想，提高逻辑推理素养。
（八）操作演练 素养提升
1.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
2.函数y＝x－eq \f(1,x)在[1,2]上的最大值为( )
A．0 B.eq \f(3,2) C．2 D．3
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，－1≤x≤0，,x2，0答案：1.B 2.B 3.C 4.2
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（八）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固函数的最值的求法，树立用函数的最值解决相关问题的意识。
六．布置作业
完成教材：第81页 练习 第2，3题
第86 页 习题3.2 第4,7,10题
第一节
第二节
第三节
第四节
课时内容
函数的概念及其表示
函数的基本性质
幂函数
函数的应用（一）
所在位置
教材第60页
教材第76页
教材第89页
教材第93页
新教材
内容
分析
以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合--对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.
教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.
在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.
利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.
核心素养培养
通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直观想象的核心素养.
通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础.
通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.
通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.
教学主线
函数的概念
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标