2021-2022学年陕西省咸阳市秦汉中学七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省咸阳市秦汉中学七年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪．经医学专家测定：新型冠状病毒的直径在米米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，要使，则需要添加的条件是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 对于已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形和正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，图，图中正方形纸片均无重叠部分则图阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. ______．
10. 如图，直线，相交于点，：：，则______度．

11. 若，则的值为______ ．
12. 对于任意实数，规定，则当时， ______ ．
13. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序．
    
    请依据规律，写出展开式中含项的系数是______．

三、解答题（本大题共12小题，共81分）

14. 计算：．
15. 已知，求的值．
    已知，，求的值．
16. 已知，．
    求的值；
    求的值．
17. 已知多项式的结果中不含有项是常数，求代数式的值．
18. 运用乘法公式计算：．
19. 已知：如图，，和互余，于点求证：．

20. 如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
    设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______；
    以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
    运用中得到的公式，计算：．

21. 今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．如图，有一块长米，宽米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为米的正方形．
    计算广场上需要硬化部分的面积．
    若，，求硬化部分的面积．

22. 化简求值
    ，其中，满足．
23. 我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
    例如，求的最小值问题．
    解：，
    又，，的最小值为．
    请应用上述思想方法，解决下列问题：
    探究：____________；
    求的最小值．
    比较代数式：与的大小．
24. 小明同学用四张长为，宽为的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙．
    通过计算小正方形面积，可推出，，三者的等量关系式为：______；
    利用中的结论，试求：当时，的值；
    利用中的结论，试求：当时，求的值．

25. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，，因此，，这三个数都是奇巧数．
    是奇巧数吗？为什么？
    设两个连续偶数为，其中为正整数，由这两个连续偶数构造的奇巧数是的倍数吗？为什么？
    小明观察猜想任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，小明的猜想正确吗？请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据零指数幂化简即可得出答案．
本题考查了零指数幂，掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，符合题意；
B、由无法得到，不符合题意；
C、由，只能得到，无法得到，不符合题意；
D、由，只能得到，无法得到，不符合题意；
故选：．
依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

4.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，
化简得：．
故选：．
已知等式利用完全平方公式化简，即可确定出．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，无法计算，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、单项式乘单项式以及整式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、单项式乘单项式以及整式的除法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
．
，，
，，
，，
．
故选：．
先将等式左边配方，再求值．
本题考查配方法的应用，正确配方是求解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，阴影部分面积，
图可知，阴影部分面积，
所以，
由图可知，阴影部分面积．
故选：．
由图可知，阴影部分面积，图可知，阴影部分面积，进而得到，由图可知，阴影部分面积，即可得出答案．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减，利用公式是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，则，，
由可得，
，
，
即，
也就是，
，
，
故选：．
根据完全平方公式进行变形可得答案．
本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提，依据公式进行适当变形是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对顶角的性质以及邻补角的定义，正确理解定义是关键．
根据邻补角的定义由：：，可求的度数，再根据对顶角相等即可求解．
【解答】
解：：：，
，
．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：原式可化为，
，
解得，
的值为．
将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出、的值．
本题考查了因式分解与多项式的乘法是互为逆运算的性质，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

，
，
，
原式


．
故答案为：．
根据新定义运算法则进行化简，然后将代入原式即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则以及完全平方公式、多项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：展开式中含项的系数，
由，
可知，展开式中第二项为，
展开式中含项的系数是．
故答案为：．
首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

15.【答案】解：因为，
所以



；
因为，，
所以

． 

【解析】根据幂的乘方与积的乘方将原式化为即可；
根据幂的乘方与积的乘方将原式化为，再代入计算即可．
本题考查同底数幂乘除法、幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂乘除法、幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确解答的前提．
 

16.【答案】解：，，




；
，，
原式



． 

【解析】根据完全平方公式计算；
根据多项式乘多项式展开，整体代入求值即可．
本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，体现了整体思想，掌握是解题的关键．
 

17.【答案】解：

，
不含有项，
，
，
当时，
原式

． 

【解析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，根据不含有项，令二次项的系数等于求出的值，代入代数式求值即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】将看作整体，用平方差公式计算，再根据完全平方公式化简即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，考查整体思想，将看作整体，用平方差公式计算是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
又和互余，即，
，
又已知，
，
． 

【解析】先由，得和互余，再由已知，，和互余，所以得，从而证得．
此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由及三角形内角和定理得出和互余．
 

20.【答案】     

【解析】解：由题意得，，，
故答案为：，；
由题结果，可得乘法公式，
故答案为：；



．
结合图形写出此题结果；
结合题结果，可得乘法公式；
将变形为，再运用平方差公式进行计算．
此题考查了平方差乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．
 

21.【答案】解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：



，
答：广场上需要硬化部分的面积是．
把，代入得，
 
答：广场上需要硬化部分的面积是． 

【解析】由题意可知空白部分的面积长方形的面积阴影部分的面积．长方形的面积是长宽，即；阴影部分是正方形，其面积是，所以空白部分的面积是；
将，的数值代入题中的代数式求值即可．
本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通过间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
 

22.【答案】解：


，
，
，，
，，
当，时，原式

． 

【解析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，偶次方与绝对值的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：．
故答案为：，．
，
，
当即时，原式有最小值．
，
，
，
．
根据完全平方式的特征求解．
先配方，再求最值．
作差后配方比较大小．
本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由题意得：
小正方形的面积大正方形的面积个长方形的面积和，
，
故答案为：；
，


，
的值为；
设，，
，
，
，


，
的值为．
根据小正方形的面积大正方形的面积个长方形的面积和，进行计算即可解答；
利用的结论可得：，然后进行计算即可解答；
设，，然后求出，的长，再利用的结论可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，熟练掌握是解题的关键．
 

25.【答案】解：是奇巧数．
，，是连续偶数，
是奇巧数；
不是的倍数．
，
奇数，不是的倍数，
和这两个连续偶数构造的奇巧数是不的倍数；
正确．
设为非负整数，
，
猜想正确． 

【解析】利用奇巧数的定义解决问题；
首先分解因式然后利用奇巧数的定义判断；
首先设辅助未知数然后分解因式即可判断．
本题主要考查了因式分解的应用，对于学生的能力要求比较高．