高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

二．椭圆的标准方程
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )
(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．( )
(3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．( )
(4)方程eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．( )


【经典例题】
题型一 求椭圆的标准方程
点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))；
(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－eq \r(2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))的椭圆的标准方程．





【跟踪训练】1求与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq \r(15))的椭圆的标准方程．


题型二 求椭圆轨迹方程
点拨：
1.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
2.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
例2 如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．





【跟踪训练】2 已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．





题型三 椭圆中的焦点三角形问题
点拨：椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧
1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2.涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
例3 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，
求△PF1F2的面积；
若改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．




【跟踪训练】3 已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

【当堂达标】
1.椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2.(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是( )
A.2 B．1 C．0.5 D．0.3
3.已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
4.若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
5.已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_ _．
6.设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．














【参考答案】
【自主学习】
常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半
思考：(1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0） (0，－c)与(0，c) a2－b2
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【经典例题】
例1 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
【跟踪训练】1 解：因为所求椭圆与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.
又点(3，eq \r(15))在所求椭圆上，所以eq \f(32,a2)＋eq \f(\r(15)2,b2)＝1，即eq \f(9,a2)＋eq \f(15,b2)＝1 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
例2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
【跟踪训练】2 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))
∵Q(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq \f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋4y2＝1.
例3 解：(1)由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cs∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5).所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5).
(2)∵ ∠PF1F2＝90°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝eq \f(3,2)，
因此S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|PF1|＝eq \f(3,2). 故所求△PF1F2的面积为eq \f(3,2).
【跟踪训练】3 8 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
【当堂达标】
1.D 解析：根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.
2.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq \f(2,k)>2，故03.C解析：依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.
4.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(m＞\f(1,2)且m≠1))) 解析：由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq \f(1,2)且m≠1.
5. x2＋eq \f(y2,2)＝1解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),8)＝1，所以eq \f(2x2,4)＋eq \f(2y2,8)＝1，即x2＋eq \f(y2,2)＝1.
6.解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5).∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2×4＝4.课程标准
学科素养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1.直观想象
2.数学运算
3.逻辑推理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程

eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)

a，b，c的关系
c2＝