人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案

这是一份人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【自主学习】
一．双曲线的定义
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
4.已知方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,m＋1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
5.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．
6.已知双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
【参考答案】
【自主学习】
差的绝对值 F1，F2 两焦点间
思考：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 a2＋b2
思考：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
【小试牛刀】
× × × ×
【经典例题】
例1 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1， ①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1， ②))解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，ABeq \r(2))．
【跟踪训练】3 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4).
故动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(3,2))).
【当堂达标】
1.AD 解析：因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．故选：AD。
2.D解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3.C解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
4.(－∞，－2) 解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．
5. 4 解析：在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2eq \r(2))2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.
6. 解：因为椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(eq \r(15)，4)或(－eq \r(15)，4)，
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5，))
所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1. 课程标准
学科素养
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
文字语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点
焦距
的距离
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝