高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案

《5.4.3 正切函数的性质与图象》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

本节的主要内容是正切函数的图象和性质，上一节学习了正弦、余弦函数的图象和性质，为本节研究正切函数的图象和性质奠定了基础 ，为函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

三、学习目标

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，培养数学抽象的核心素养；

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，提升直观想象的核心素养；

3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养。

四、教学重点

重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性

难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题.

想一想：研究太阳光和地面的角度问题常常用到哪个函数的性质与图象呢?

提示：正切函数.

（二）正切函数的性质、图象

【探究1】根据正切函数的定义，正切函数y=tan x的定义域是什么?

【提示】正切函数y=tan x的定义域为  。  

【探究2】诱导公式tan(π+x)=tan x,说明了正切函数的什么性质?

【提示】周期性.周期是。

【思考】直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？

【提示】由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π

【探究3】诱导公式tan(-x)=-tan x说明了正切函数的什么性质?

【提示】奇偶性.正切函数是奇函数。

【探究4】如何作出正切函数的图象？

【提示】①当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示．

再根据奇函数的性质得出(－，0)的图象，根据周期性作其他周期内图象．

②“三点两线法”

“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．

【思考】正切函数y＝tan x的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？

【提示】没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．

【探究5】从正切线上观察正切值,在 上是增加的吗?在上是增加的吗?

【提示】在    上是增加的,在   上也是增加的.

【探究6】根据正切曲线观察，正切函数是否具有对称性？

【提示】正切函数无对称轴，有无数个对称中心，坐标为,k

正切函数的图象与性质：

【辩1辩】1．正切函数的定义域和值域都是R.(　×　)

2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　√　)

3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　×　)

4．正切函数是增函数．(　×　)

【设计意图】通过探究让学生理解正切函数的图象与性质，提高学生分析问题的能力。

（三）典型例题

1.正切函数的周期性

例1.求下列函数的周期

(1)y＝2tan(2x＋)；

(2)y＝3tan(x－)．

【解析】解法1：令z＝2x＋，那么函数y＝2tanz的周期是π.

由于z＋π＝(2x＋)＋π＝2(x＋)＋，所以自变量x只要并且至少要增加到x＋时，函数值才能重复取得，即T＝是能使等式2tan[2(x＋T)＋]＝2tan(2x＋)成立的最小正数，从而函数(2)令z＝x－，那么函数y＝3tanz的周期是π.

由于z＋π＝(x－)＋π＝(x＋2π)－，所以自变量x只要并且至少要增加到x＋2π时，函数值才能重复取得，即T＝2π是能使等式3tan[(x＋T)－]＝3tan(x－)成立的最小正数，从而函数y＝3tan(x－)的周期是2π.

解法2：(1)∵T＝，ω＝2，∴T＝.∴y＝2tan(2x＋)的周期为.

(2)∵T＝，ω＝，∴T＝2π.∴y＝3tan(x－)的周期为2π.

【类题通法】求函数最小正周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

【巩固练习1】求下列函数的最小正周期：

(1)y＝tan(－x)；

(2)y＝tan(3x＋)．

【解析】　(1) ，∴y＝tan(－x)的最小正周期为2π.

(2)∴y＝tan(3x＋)的最小正周期是.

2.正切函数的奇偶性

例2. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；

(2)f(x)＝x2tanx－sin2x.

【解析】　(1)因为该函数的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．

(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

【类题通法】判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.

（3）若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．

【巩固练习2】判断下列函数的奇偶性：

(1)y＝tanx(－≤x<)；

(2)y＝xtan2x＋x4；

(3)y＝sinx＋tanx.

【解析】　(1)∵定义域[－，)不关于原点对称，

∴它既不是奇函数也不是偶函数．

(2)定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，关于原点对称，

∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是偶函数．

(3)定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，

∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．

3.正切函数的定义域、单调区间

例3.求函数y＝tan的定义域，并指出它的单调性．

【解析】　要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，

∴函数的定义域为.

令kπ－<3x－<kπ＋(k∈Z)，

即－<x<＋(k∈Z)．

∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，不存在单调递减区间．

【变式 】求函数y＝tan的单调区间。

【解析】y＝tan(−3x−)＝－tan(3x+)，

由kπ－<3x+<kπ＋(k∈Z)，得 - <x<＋，k∈Z.

∴函数y＝tan(−3x− )的单调递减区间是( -   , ＋)，k∈Z,无单调递增区间.

【类题通法】1.求正切函数定义域的方法

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.

求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.

2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，求得x的范围即可．

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

【巩固练习3】求函数y＝3tan的定义域，并指出它的单调性。

y＝3tan(－)＝－3tan(－)，

要使函数有意义，自变量x的取值应满足－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠ (k∈Z)，

∴函数的定义域为.

由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z.

∴y＝3tan(－)的单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z.不存在增区间．

4.正切函数的图象及应用

例4. 　(1)在区间上，函数y＝tan x与y＝sin x的图象的交点个数为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

(2)作出函数y＝tan|x|的图象；

(3)利用正切图象求解不等式tan x≥.

【解析】　(1)法一：在同一平面直角坐标系中，先作出函数y＝sin x与y＝tan x在的图象，当x∈时，有sin x＜x＜tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线可证明)，然后利用对称性、周期性作出x∈上两函数的图象(注意正切函数的定义域)，如图所示，由图象可知它们有三个交点．

法二：令sin x＝tan x＝，得sin x＝0，解得sin x＝0或cos x＝1.

在x∈内，x＝－π，0，π满足sin x＝0，x＝0满足cos x＝1，故交点个数为3.

(2)y＝tan|x|＝其图象如下：

(3)在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线y＝，如图所示，显然在上，x＝满足tan x＝.

由图可知在上，使不等式tan x≥成立的x的取值范围是≤x＜.

故使不等式成立的x的集合为

.

【类题通法】对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x>a的不等式的步骤：

【巩固练习4】1.求不等式tan≥1的解集．

【解析】　由已知可得kπ＋≤2x＋<kπ－，

解得≤x<－，k∈Z，

∴不等式tan≥1的解集为

.

2.求y＝的定义域.

【解析】由－tan x≥0得，tan x≤.

结合y＝tan x的图象可知，在上，

满足tan x≤的角x应满足－<x≤，所以函数y＝的定义域为

，

5.正切函数的单调性及应用

例5.比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．

【解析】∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，

又∵<2<π，∴－<2－π<0.

∵<3<π，∴－<3－π<0，

显然－<2－π<3－π<1<，

且y＝tan x在内是增函数，

∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，

即tan 2<tan 3<tan 1.

【类题通法】运用正切函数单调性比较大小的方法

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

【巩固练习5】比较tan π与tan的大小．

【解析】 tan π＝tan＝tan ，

tan＝－tan π＝－tan＝－tan＝tan ，

∵－<<<，

y＝tan x在上单调递增，∴tan <tan ，即tan π>tan

（四）操作演练  素养提升

1．y＝tan(x＋π)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

2．y＝4tan的最小正周期为(　　)

A.　　　　　B.　　　　C.　　　　D.

3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.

4．函数y＝tan （-x）的单调递减区间是________．

答案：1.A  2.B   3.：　   4.(k∈Z)

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第213页  练习     第1，2，3,4,5题

         第213页  习题5.4     第7,8,9,13,14题