人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【自主学习】
一．空间向量的夹角
1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ．
2.a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是 。
当〈a，b〉＝0时，a与b ；
当〈a，b〉＝π时，a与b ；
当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a与b ．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝ 。
二．空间向量数量积
1.概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cs〈a，b〉= ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
3.性质
a⊥b⇔ ， |a|2＝ ， |a|＝ ，cs〈a，b〉＝
4.运算律
λ(a·b)＝ ，a·b＝ (交换律)． a·(b＋c)＝ (分配律)．
特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )
(4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )
【经典例题】
题型一 数量积的计算
点拨：(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))； (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))； (3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))； (4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).

【跟踪训练】 1 如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(CD,\s\up8(→))等于( )
A．－2 B．2 C．－2eq \r(3) D．2eq \r(3)
题型二 用数量积证明垂直问题
点拨：（1）证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
【跟踪训练】 2 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系
为_______．(填“平行”或“垂直”)
题型三 用数量积求角度
点拨：求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题。
例3 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
【跟踪训练】 3 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
题型四 用数量积求长度
点拨:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq \r(a·a)求解即可．
例4 如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【跟踪训练】4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
【当堂达标】
1.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )．
A．与
B．与
C．与
D．与
2.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．eq \r(97) B．97 C．eq \r(61) D．61
3.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，则cs〈a，b〉＝________．
4.已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角。
6.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为eq \r(2).
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为eq \f(π,3)，求侧棱的长．

【课堂小结】
1.空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形
寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
【参考答案】
【自主学习】
一．1.夹角 〈a，b〉2.[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π
二．1.|a||b|cs〈a，b〉 2. 3.a·b＝0 a·a eq \r(a·a)eq \f(a·b,|a||b|) 4.(λa)·b b·a a·b＋a·c
【小试牛刀】
√ × √ ×
【经典例题】
例1 解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
【跟踪训练】1 A 解析：∵eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))·(eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cs 60°＝－2.
例2 【证明】 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝eq \r(2).
eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs 60°
＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝1.∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC.
【跟踪训练】2 垂直 解析：∵eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，
∴AD与BC垂直．
例3 90° 解析：不妨设棱长为2，则eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→))，
cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))〉＝eq \f(（\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))）·（\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq \f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0。
【跟踪训练】3 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2)，|a|＝|b|＝|c|＝1，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－b，
eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·(eq \f(1,2)c－b)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)a·c＋eq \f(1,2)b·c－a·b－|b|2)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,2)－1)＝－eq \f(1,2)，
∴cs〈eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OE,\s\up6(→))·\(BF,\s\up6(→)),|\(OE,\s\up6(→))||\(BF,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq \f(2,3)，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为eq \f(2,3).
例4 7 解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cs 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．
【跟踪训练】4 解 因为eq \(AC1,\s\up6(-→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→))，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(-→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＋2(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→)))．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以eq \(AC,\s\up6(-→))eq \\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cs 60°＋2×3×cs 60°)＝23.
因为eq \(AC,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＝|eq \(AC1,\s\up6(→))|2，所以|eq \(AC1,\s\up6(-→))|2＝23，
则|eq \(AC1,\s\up6(-→))|＝eq \r(23)，即AC1＝eq \r(23).
【当堂达标】
1. A解析：A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°．
2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cs 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq \r(61).
3.eq \f(1,8) 解析：将|a－b|＝eq \r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉
求得cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).
4.－eq \f(3,2)解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
∴18＋(λ＋1)×3eq \r(2)×4cs 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－eq \f(3,2).
5.解 以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz．设正方体的棱长为2，则＝(2，－1,2)，＝ (0,2,1)，·＝0，故异面直线A1M与ND所成角为90°．
6.(1)证明 eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
∵BB1⊥平面ABC，∴eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
∵eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＝eq \(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝|eq \(BC1,\s\up6(→))|.
∴cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\(BB1,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,2)，
∴|eq \(BB1,\s\up6(→))|＝2，即侧棱长为2.课程目标
学科素养
1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）
3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）
1、逻辑推理
2、数学运算
3、数学抽象