人教版九年级上册21.1 一元二次方程课文内容课件ppt

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第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程
人教版 数学 九年级 上册
1、什么是方程？含有未知数的等式叫方程2、我们学过什么样的方程呢？
一元（未知数）一次（未知数的指数）方程：
ax+b=0(a≠0)
一、知识回顾
二、导入新课
情景引入： 问题1要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下） 的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
x
2-x
C
A
B
上部AC ，下部BC有如下关系：
于是得方程：
化简得：
解：
AC = BC 即 BC2=2AC BC 2
x2=2(2-x)
x2+2x-4=0
学习目标：理解一元二次方程的概念；会把一元二次方程化 为一般形式；会找出一元二次方程的二次项系数、 一次项系数和常数项。理解方程解（根）的概念。会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的 模型思想，提高分析问题的能力。
三、目标展示
1 、探究新知： 问题2
x
x
如图，有一块矩形铁皮长100cm, 宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制成一个无盖方盒，如果要制作 的方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大？
四、新课讲解
设切去的正方形的边长为xcm ,则盒底的长为（100-2x）cm , 宽为(50-2x)cm ,根据方盒的底面积，得:
解：
x
（100-2x）(50-2x)=3600x
整理得： 4x2-300x+1400=0化简得： x2-75x+350=0
问题3
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间要比赛一场，根 据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛 组织者应邀请多少支队参赛？
全部比赛共4×7=28场
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 （ ）个队各赛1
场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全
部比赛共（ ）场，
解:
x-1
1 x(x-1)
2
得列方程:
化简 得:
1 x(x-1)=28
2
整理，得：2× 1 x(x-1)=28×2
2
x2-x=56
观察下列方程有什么共同点？
（1） x2+2x-4=0
（2）
方程两边都是整式方程中只含有一个未知数 未知数的最高次数是2
x2-75x+350=0
（3） x2-x=56
共同点：方程两边都是整式方程中只含有一个未知数未知数的最高次数是2
2、归纳总结：
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的 最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的与一元二次方程，经过整理，都 能化成以下形式： ax2+bx+c=0（a≠0）
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0（a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中（ ax2 ）是二次 项，（ a ）是二次项系数；（ bx ）是一次项， （ b ）是一 次项系数；( c )是常数项。
3、例题讲解：
例1:将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一元二次方程的一般形式 。 并写出二次项系数，一次项系数及常数项。解：去括号，得 3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得 3x2-8x-10=0 二次项系数3， 一次项系数-8，常数项-10。
例题2：m为何值时，关于x的方程（m-1）xm2-1+2mx-3=0为一元 二次方程。
解：由题意得：m2-1=2，m-1≠0，整理，得 m2=3
例题3：已知关于x一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有 一根为2，求m。
解：把x=2代入方程得4（m-1）+6-5m+4=0，整理，得 6-m=0 解，得 m=6
五、课堂练习：
1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式？并写出其中的二次 项系数，一次项系数及常数项。(1)5x2-1=4x (2)4x2=81 (3)4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x-1)=8x-3
2、 列出关于x的方程，并化为一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 4x2-25=0（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； x2-2x-100=0
把长为1的木条分长两段，使较短的一段的长与全长 的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x；x2-3x+1=0一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2， 求较长直角边的长x。x2-2x-48=0
今天我们学习了哪些知识？一元二次方程的概念:一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是 一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围;一元二次方程 的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次 项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念;一元 二次方程根的概念以及作用
六、课堂小结与反思：
A．x2﹣y=1 C．x2+ =3
B．x2+2x﹣3=0 D．x﹣5y=6
1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
5
七、课堂检测：
3.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
）A．6 、 2 、 5 C．2、﹣6、﹣5
B．2、﹣6、5 D．﹣2、6、5
（ C
4．若关于x的方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，求k的 取值范围。解：∵方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，∴ K+3≠0∴ K≠-3
5．已知x=2是关于x的方程
2
x -2a=0 的一个根，求2a-1的值。
23
中
解：把x=2代入得2a=6∴2a-1=5∴a=3
教材p4：练习：第1、2题习题：第1、2、3题
八、布置作业：
谢谢观看
Thank You
RJ九(上)教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.1　一元二次方程
1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
没有未知数
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
新课引入
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
探究交流:
新课引入
如图，有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？请根据题意列出方程.
100cm
50cm
x
3600cm2
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2,得
整理，得
化简，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
例1
新课讲解
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析：设应邀请x个队参赛，每个队都要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.
解：根据题意，列方程：
整理,得
化简，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
例2
新课讲解
方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
(1)都是整式方程;
(2)只含一个未知数;
(3)未知数的最高次数是2.
探究交流:
新课讲解
★一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
★一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数
一次项系数
常数项
新课讲解
★ax2 + bx +c = 0强调：
①“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有;②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列;③“ = ”右边必须整理为0.
新课讲解
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数.
想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
新课讲解
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成x2-3x+2=0
少了限制条件a≠0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理后再作判断.
新课讲解
(1)ax2-x=2x2；
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
新课讲解
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
新课讲解
★一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练： 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4.
解：3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
一元二次方程的根
新课讲解
解：由题意，得
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
2(a2+2a)+2018
=2×2+2018
=2022
∴2(a2+2a)+2018=
新课讲解
1. 下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
随堂即练
2.填空：
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
随堂即练
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
即9+4a=0,
∴4a=-9，
随堂即练
4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述，m =2.
随堂即练
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意，得
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意,得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2
能力提升
一元二次方程
概念
是整式方程；含一个未知数；最高次数是2
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式
根
使方程左右两边相等的未知数的值
课堂总结

第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
学习目标：
知识与技能：1.理解一元二次方程降次的转化思想。2.会利用直接开平方法对形如： =p与 =p(p≥0)的一元二次方程过程与方法：1.会用直接开平方法解简单的一元二次方程.2.使学生了解“换元、转化、类比”等重要的数学思想在解方程中的应用。情感态度与价值观：1.通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯；感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
1.如果 x2=a(a ≥0) ,则x 叫做a 的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x = .
3.如果 x2=64 ,则x = .
4.任何数都可以作为被开方数吗？
平方根
±8
负数不可以作为被开方数.
一.复习回顾：
5.平方根的性质：
一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根.
1.求出下列各数的平方根。
2.完全平方公式
二、预习检测
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
根据平方根的意义，得
即x1=5，x2=－5.
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
①
x=±5，
探究新知
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得x1=2 , x2=－2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得 x2=－1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.
（2）当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；
（3）当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；
归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
三.新课讲授
1. 利用直接开平方法解下列方程:
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
练一练：
2、对照上面解方程的过程，你认为方程 应该怎样解呢?
解：方程两边开平方得
即
分别解这两个一元一次方程得
通过降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程
：
思考
上面的解法中 ，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例1 解下列方程：⑴ （x＋1）2= 2 ；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
四.例题讲解
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
解析：两边都是完全平方形式，可直接开平方.
解：（2）直接开平方，得
如果方程能化成 的形式，那么可得
归纳总结
第一步：把原方程化成这种形式（左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，）；第二步：开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次。第三步：解一元一次方程，求出方程的根.
用开平方法解一元二次方程的步骤：
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=－4
1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
巩固练习
(1)方程　　　　的根是 . (2)方程　　　　的根是 . (3)方程 　　 的根是 .
3. 选择适当的方法解下列方程：(1)x2-81＝0 (2)2x2＝50 (3)(x＋1)2=4
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2.填一填:
x＝±9
x＝±5
x1＝1,x2＝－3
4.下面是李明同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
1.（眉山·中考）一元二次方程的解2x2-6=0 为 .【解析】∵一元二次方程2x2-6=0, ∴x2=3 ∴x= ∴x1= ，x2= 答案：x1= ，x2= .
直击中考
2.解下列方程： （2）
【解析】 （1）变形得x2 =16，用直接开平方法解得 x=±4，所以x1=4, x2= -4.
(2)变形得x2=-16，∵ x2 ＜0 ，∴原方程无解.
(1)2x2-32=0
能力拓展： 方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么请你思考能否将其转化成平方形式？
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)或（x+n)2=p（p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
五.课堂小结
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法（第2课时）
第二十一章 一元二次方程
一、学习目标
1．探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤．2．能够利用配方法解一元二次方程．
二、温故知新，提出问题
1．用配方法解方程
二、温故知新，提出问题
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤？
三、合作探究，形成知识
x2+6x+4 = 0
方程左边是完全平方式吗？
能用直接开平方的方法求根吗？
不能
不能
你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？
三、合作探究，形成知识
三、合作探究，形成知识
用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式；②把方程的常数项通过移项移到方程的右边；③方程两边同时除以二次项系数a；④方程两边同时加上一次项系数一半的平方；⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解；⑥定解．
四、例题分析，综合应用
例 利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时的规律吗？
四、例题分析，综合应用
四、例题分析，综合应用
∵ (x-1)2 ≥0，∴ 当x取任何实数时，上式都不成立，即原方程无实数根．
四、例题分析，综合应用
.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n）2=p（Ⅱ）的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=-n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
归纳总结：
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
四、例题分析，综合应用
五、反馈练习
1．如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）． A．1 B．－1 C．1或9 D．－1或9
C
2．用配方法解下列方程：（1）4x2-6x-3=0； （2）3x2+6x-4=0.
五、反馈练习
五、反馈练习
六、课堂小结
1．配方法的定义：　　通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
六、课堂小结
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）化；（2）移项；（3）配方；（4）开方；（5）求解；（6）定解．
再见
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
第二十一章 一元二次方程
一、学习目标
1．探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤．2．能够利用公式法解一元二次方程．
二、温故知新，提出问题
二、温故知新，提出问题
问题1 你能用配方法解下列方程吗？

（1）
；
（2）
．
二、温故知新，提出问题

用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
（2）
．
二、温故知新，提出问题
化：把原方程化成 x²+px+q = 0 的形式．移项：把常数项移到方程的右边，如x2+px =-q．配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如
x2+px+ ( )2 = -q+ ( )2
( x+ )2 =-q+ ( )2　
问题2 用配方法解一元二次方程的步骤？
求解：解一元一次方程．定解：写出原方程的解．
二、温故知新，提出问题
三、合作探究，形成知识
ax2+bx+c=0(a≠0)
你能否也用配方法解出方程的根呢？
一元二次方程的一般形式？
三、合作探究，形成知识
已知 ，请用配方法推导出它的两个根．
此时可以直接开平方吗？需要注意什么？
三、合作探究，形成知识
只有当
（Ⅱ）
三、合作探究，形成知识
（Ⅱ）中等号右边的值有可能为负吗？说明什么？
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac．
三、合作探究，形成知识
三、合作探究，形成知识
归纳：
一元二次方程的根与判别式的关系：
当 Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
当 Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当 Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
三、合作探究，形成知识
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
四、例题分析，综合应用
例：用公式法解下列方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：（1）a =1，b=-4，c=-7．
b2-4ac = (-4)2-4×1×(-7) = 44＞0．
方程有两个不相等的实数根
四、例题分析，综合应用
当b2－4ac=0时，x1 = x2，即方程的两根相等．
（2）
解：
b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0．
；
方程有两个相等的实数根
四、例题分析，综合应用
（3）
a =5，b =－4，c =－1．
b2－4ac = (－4) 2－4×5×(－1) = 36＞0．
；
四、例题分析，综合应用
（4）x2+17=8x
a = 1，b = －8 ，c = 17．
b2－4ac = (－8 ) 2－4×1×17 = －4＜0．
∵ b2－4ac＜0，
∴ 方程无实数根．
五、归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1） 把一元二次方程化成一般形式，并写出该方程的各项系数；（2） 求出 Δ 的值，特别注意：当 Δ＜0时，方程无解；（3） 代入求根公式；（4） 写出方程的解．
六、练习巩固，能力提高
D
六、练习巩固，能力提高
3．若(m2－n2)(m2－n2－2)－8=0，则m2－n2的值（ ）． A．4 B．－2 C．4或－2 D．－4或2
D
C
4
六、练习巩固，能力提高
4．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 5．当x=___时，代数式x2－8x＋12的值是－4． 6．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3=0有一根为0，则m的值是_____．
b2－4ac≥0
-3
六、练习巩固，能力提高
六、练习巩固，能力提高
∴x1=-3 , x2=2．
六、练习巩固，能力提高
六、练习巩固，能力提高
（3）方程化为 x2-3=0． ∵a=1，b=0，c=－3，
六、练习巩固，能力提高
（4）
（5）
（6）
七、课堂小结
2．公式法的定义利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
七、课堂小结
3．一元二次方程的根与判别式的关系 当 ＞0时，方程 有两个不相等的实数根； 当 =0时，方程 有两个相等的实数根； 当 ＜0时，方程 无实数根．
七、课堂小结
4．用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化成一般形式，并写出方程的各项系数； （2）求出　的值，特别注意：当　＜0时，方程无解； （3）代入求根公式； （4）写出方程的解．
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法
1．探索利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2．能够利用因式分解法解一元二次方程．
一、学习目标
二、创设情景，提出问题
问题1．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面高度（单位：m）为10x－4.9x2 ．根据上述规侓，物体经过多少秒落回地面？
二、创设情景，提出问题
问题2．观察上面的方程中有没有常数项？等号左边的各项有没有公因式，可以因式分解吗？
方程可以写成：x(10-4.9x)=0．
问题3．如果ab=0，那么a，b的值会有哪些情况？
a=0，或b=0．
问题4．方程x(10-4.9x)=0能否用“如果ab=0，那么a=0，或b=0”的结论求解呢？
三、合作探究，形成知识
思考：这种解法是如何使二次方程降为一次的？
三、合作探究，形成知识
 
．
归纳总结　　先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
三、合作探究，形成知识
例 用因式分解法解下列方程：
四、例题分析，深化提高
解：因式分解，得(x-2)(x+1)=0； 于是得x-2=0，或x+1=0，　　x1=2，x2=-1．
四、例题分析，深化提高
解：移项、合并同类项，得 4x2-1=0； 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0； 于是得 2x+1=0 ，或 2x-1=0， ，
四、例题分析，深化提高
解：因式分解，得 (x+5)(x-3)=0； 于是得 x+5=0，或 x-3=0； x1=-5，x2=3
四、例题分析，深化提高
用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程的一般形式；（2）将方程左边分解因式；（3）由至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
归纳总结
四、例题分析，深化提高
右化零　　左分解两因式　　各求解
简记歌诀：
四、例题分析，深化提高
1．方程(x－16)(x＋8)=0的根是（ ）A．x1=－16，x2=8 B．x1=16，x2=－8C．x1=16，x2=8 D．x1=－16，x2=－8
B
D
五、练习巩固，能力提高
2．方程5x(x＋3)=3(x＋3)的解为（ ）A．x1= ，x2=3 B．x1= ，x2=3C．x1= ，x2=－3 D．x1= ，x2=－3
3．方程(y－5)(y＋2)=1的根为（ ）A．y1=5，y2=－2 B．y=5C．y=－2 D．以上答案都不对4．方程(x－1)2－4(x＋2)2=0的根为（ ）A．x1=1，x2=－5 B．x1=－1，x2=－5C．x1=1，x2=5 D．x1=－1，x2=5
D
B
五、练习巩固，能力提高
（1）3(x－2)－x(x－2)=0； （2）(3x＋2)2＝4(x－3)2 （3）3x(2x＋1)＝4x＋2 （4）x2＋x=0； （5）4x2－121=0； （6）x2=7x；（7）x2－4x－21=0．
5．用因式分解法解下列方程：
五、练习巩固，能力提高
（1）3(x-2)-x(x-2)=0；
解：因式分解，得(x-2)(3-x)=0． 于是得 x-2=0，或3-x=0， x1=2，x2=3  
五、练习巩固，能力提高
解：原方程可化为 (3x＋2)2－[2(x－3)]2＝0
（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2
因式分解，得[(3x+2)+2(x－3)][(3x+2)－2(x－3)] ＝0即 (5x-4)(x+8)=0．于是得  5x-4=0，或x+8=0，x1＝ ，x2＝－8
五、练习巩固，能力提高
解：原方程可化为3x(2x+1)-2(2x+1)=0．　　因式分解，得 (3x-2)(2x+1)=0．　　于是得 3x-2=0，或2x+1=0， 　　x1＝ ，x2＝
（3）3x(2x＋1)＝4x＋2
五、练习巩固，能力提高
五、练习巩固，能力提高
1．因式分解法的定义　　先因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
六、课堂小结
2．用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将一元二次方程化为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）由至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
六、课堂小结
再 见
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1．理解并掌握根与系数的关系：
2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题．
一、学习目标
（《小明与小青悄悄话》）
二、创设情景，提出问题
问题1．从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1，x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
三、合作探究，形成知识
把方程 (x－x1)(x－x2)＝0 的左边展开，化成一般形式，得方程 x2－ (x1+x2)x＋x1x2＝0，二次项系数为1，一次项系数 p＝－(x1＋x2)，常数项 q＝ x1x2；上述方程两根的和、积与系数的关系为：(x1＋x2) ＝－p，x1x2＝q ．
问题2．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？
三、合作探究，形成知识
一元二次方程根与系数关系的证明：
因为一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的两根是：
由此可得
三、合作探究，形成知识
如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 ，x2 ，
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2－4ac≥0．
用语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、合作探究，形成知识
一元二次方程的根与系数的关系：
三、合作探究，形成知识
例1．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2的和与积：
解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15（2） x1＋x2＝ ，x1x2＝ ＝－3（3）方程化为 4x2－5x＋1＝0 ，x1＋x2＝ ＝ ，x1x2＝
（1）x2－6x－15＝0　　　　　（2）3x2＋7x－9＝0（3）5x－1＝4x2
四、例题分析，深化提高
四、例题分析，深化提高
例2．已知方程 2x2＋kx－9＝0 的一个根是-3，求另一个根及k的值．
四、例题分析，深化提高
1．已知m，n是关于x的一元二次方程 x2－3x＋a＝0 的两个解，若(m－1)(n－1)=－6，则a的值为（ ）A．－10　　　B．4　　　C．－4　　　D．102．设a、b是方程 x2＋x－2 015＝0 的两个实数根，则 a2＋2a＋b 的值为（ ）A．2 012　　　B．2 013　　　C．2 014　　　D．2 015
C
C
五、练习巩固，综合应用
3．若方程 x2－3x－1＝0 的两个根为x1、x2，则 的值为（ ）A．3 B．－3 C． D．
4．已知x=1是方程 x2＋ax＋2＝0 的一个根，则方程的另一个根为_____，a＝______．
B
2
－3
五、练习巩固，综合应用
5．求下列方程两个根 x1、x2的和与积：（1）x2＋x＝5x＋6　　　　　（2）5x2＋x－5＝0（3）x2－3x＋2＝10　　　　 （4）7x2－5＝x＋8
解：（1）方程化为 x2－4x－6＝0，x1＋x2＝－(－4)＝4，x1x2＝－6（2）x1＋x2＝ ，x1x2＝ ＝－1（3）方程化为 x2－3x－8＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－8（4）方程化为 7x2－x－13＝0，x1＋x2＝ ＝ ，x1x2＝
五、练习巩固，综合应用
①×2－③，得－m＝－8． ∴m＝8．将m＝8代入①，得n＝－2．将m＝8，n=－2代入② ，得k=8×(－2)=－16．∵当k＝－16时，△＝36－4k＝100＞0，∴k＝－16．
6．已知关于x的方程 x2－6x＋k＝0 的两个根是m和n，且3m+2n=20，求k的值．　　　　　　
解：∵ m，n是方程的两个根，
五、练习巩固，综合应用
7．已知 x1、x2是一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两个实数根，求 x12＋x22＋4x1x2的值．
五、练习巩固，综合应用
根据一元二次方程根与系数的关系可知 x1＋x2＝3，x1x2＝－1；所以 x12＋x22＋4x1x2＝ (x1＋x2)2＋2x1x2＝9－2＝7．
1．一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根是x1 ，x2 ，
2．用语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
六、课堂小结
再 见
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？有几种解法？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
温故知新
学习目标
1、会求一元二次方程的两根之和与积。 2、能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值.
预习展示
(1) 以x1,x2为根的方程(x-x1)(x-x2)=0的一般形式是 ，若x1、x2是方程x2+px+q=0的两个根，那么x1，x2与p，q之间的的关系是 x1+x2= ，x1x2=
x2-(x1+x2)x+x1x2=0
-p
q
(2)已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。
求：（1） x1＋ x2 （2） x1 x2
预学展示
推导：
推导：
 
 
合作探究一
不解方程，求下列方程两个根的和与积． (1)2x2+5x=2；　　 (2)4x2+1＝7x； (3)3x2－3x＝x2； (4)4x2－2x＋1＝x＋8.
解：(1)原方程化为2x2+5x-2＝0， (2)原方程化为4x2-7x+1＝0， (3)原方程化为2x2－3x＝0， (4)原方程化为4x2－3x－7＝0，
已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7
变式
变式演练：已知方程3x2-8x-k=0的两个实数根为α，β，且满足α+2β= ，求k的值.
解：由根与系数的关系可知α+β= ，αβ=
3
2
则：
合作探究二
另外几种常见的求值
归纳总结： 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
已知方程　　　　　　　　的两个实数根是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1 x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8当k=4时， △＜0当k=-2时，△＞0∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
合作探究三
方程x 2 (m1)x2m10求m满足什么条件时,①方程的两根互为相反数？②方程的两根互为倒数？③方程的一根为零？
解:(m1) 2 4(2m1)m 2 6m5①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10, m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m 2 6m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10， 且0, ∴ 时,方程有一根为零.
变式
方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0m-1