2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷（含解析）

2022年四川省自贡市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列图形中是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则的值不可能的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某微生物的直径为  ，用科学记数法表示该数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 下列运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 设为一元二次方程较小的根，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示是，，，四点在边上的位置图．根据图中的符号和数据，求之值(    )

A.
B.
C.
D.

9. 欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是(    )

A. 亏损 B. 盈利 C. 不盈不亏 D. 与进价有关

10. 如图，已知，，点是线段上的一个动点，连接，动点始终保持与点关于直线对称，当点由点位置向右运动至点位置时，相应的点所经过的路程为(    )

A.  B.   C.  D.

11. 如图，的顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将缩小后得到若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”如图，直线：经过点，一组抛物线的顶点，，， 为正整数，依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，为正整数若，当为时，这组抛物线中存在美丽抛物线．(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：          ．
14. 如图，已知，，平分，则 ______

15. 已知一元二次方程的两根分别为、，那么的值是______．
16. 已知的三边、、满足，则的内切圆半径______．
17. 一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形如图，则矩形的长与宽的比为______．

18. 如图，中，，，点是所在平面上的一个动点，且，则面积的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中整数满足不等式．
21. 争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了名学生的测试成绩，分数如下：
    
    
    整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

根据以上信息，解答下列问题．
填空：______，______；
若成绩不低于分为优秀，估计该校名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
已知等级中有名女生，现从等级中随机抽取名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

22. 如图，▱中，于点，，在上，交于点，连接，．
    若，，求的长度；
    求证：．

23. 如图，反比例函数的图象与过两点，一，的一次函数的图象在第二象限内相交于点．
    一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；
    点是双曲线上一点，且，请求出点坐标．

24. 如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接、，交于点，且．
    求证：是的切线；
    若，求的值．

25. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用，设每间房间定价元．
    每天有游客居住的房间数为______用表示结果化简
    当每间房价定为多少元，宾馆的利润元最大？
    宾馆某天统计结果显示，该天利润为元，请求出这天每间房的定价元的值．
26. 如图，已知抛物线，与轴从左至右依次相交于、两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一个交点为．
    若点的横坐标为，则抛物线的函数关系式为．
    若在第三象限内的抛物线上有一点，使得以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
    在的条件下，设点是线段上一点不含端点，连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位运动到点停止，问当点的坐标为多少时，点运动的时间最少？
    连接，点为内一点，若，求的最小值为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：当、同号时，原式；或原式；
当、异号时，原式．
故的值不可能的是故选B．
由于，则有两种情况需要考虑：、同号；、异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可．
此题考查的是绝对值的性质，能够正确的将、的符号分类讨论，是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：  ，用科学记数法表示该数为，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．找到从几何体左面看得到的平面图形即可。
【解答】
解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左。
故选A。  

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、、，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：：因为，所以选项错误；
：因为，所以选项错误；
：因为，所以选项正确；
：因为，所以选项错误．
故选：．
根据单项式乘以单项式、单项式除以单项式，有理数混合运算法则，及积的乘方运算法则逐项进行计算即可得出答案．
本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则进行计算是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
．
故选：．
利用配方法解方程得到，，然后对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
．
，，，，
，，
．
故选：．
此题可以应用三角形的内角和等于求解．根据题意可得：，求得的度数，再根据与的度数，求得与的值即可．
此题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确识图．
 

9.【答案】 

【解析】解：设第一件衣服的进价为元，第二件衣服的进价为元，由题意得：
，

整理得：

该服装店卖出这两件服装的盈利情况是：

即赔了元．
故选：．
设第一件衣服的进价为元，第二件衣服的进价为元，根据乘以进价等于，乘以等于，列出两个方程，然后解得和的数量关系，再根据总体盈利情况等于盈利的减去亏损的，计算得出结果即可．
本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在直角中，，
则，
则点由点位置向右运动至点位置时，相应的点所经过的路径是以为圆心，的倍为圆心角，半径是的弧，相应的点所经过的路程为：．
故选：．
点由点位置向右运动至点位置时，相应的点所经过的路径是以为圆心，的倍为圆心角，半径是的弧，利用弧长公式即可求解．
本题考查了弧长的计算、轴对称的性质．此题抓住轴对称图形的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线推知点的运动轨迹为以点为圆心，以长为半径的弧长．
 

11.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，
将缩小后得到，点的对应点的坐标为，
点的对应点的坐标为：．
故选：．
利用已知对应点坐标变化得出位似比为：：，进而得出点坐标．
此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线：经过点，则；
直线：．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
该等腰三角形的高等于斜边的一半．
，
该等腰直角三角形的斜边长小于，斜边上的高小于即抛物线的顶点纵坐标小于；
当时，，
当时，，
当时，，
美丽抛物线的顶点只有、．
若为顶点，由，则；
若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．
故选B．
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又，所以等腰直角三角形斜边的长小于，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于，即抛物线的定点纵坐标必定小于．
考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
故答案为：．
根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
是直角三角形，，
设内切圆的半径为，
根据题意，得，
，
故答案为：．
由非负性可求，，的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，，由面积法可求的内切圆半径．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．
 

17.【答案】： 

【解析】
解：根据折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
矩形的长与宽的比为：：．
故答案为：：．
首先由折叠的性质与矩形的性质求得：，，然后在中，利用三角函数的知识即可求得答案．
此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识．解题的关键是找到折叠中的对应关系，还要注意数形结合思想的应用．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，作于，
，，
，
，
，
，，
以为圆心，为半径作，延长交于点，
，
点在上运动，当运动到如图的位置时，面积的最大值，最大值为：．
故答案为：．
因为，，可得，以为圆心，为半径作，与的延长线相交于点，因为，所以点在上运动，当运动到如图的位置时，面积最大，根据三角形面积公式即可得出面积的最大值．
本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是得出点在上运动．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
不等式组的整数解是和，
要使分式有意义，必须且且，
即不能为，，，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求出不能为，，，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：；；
估计该校名八年级学生中，达到优秀等级的人数为人；
列表如下：

所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
恰好抽到一男一女的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
由四个等级的人数之和等于总人数可得的值，利用百分比的概念可得的值；
用总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可得；
列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：由题意知，，即；
故答案为；；
见答案；
见答案．  

22.【答案】解：，，，
．
，
是等腰直角三角形，
，
，
在平行四边形中，，，，
，，
是等腰直角三角形，
；
证明：过作交于，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由知，和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
由知，，
，
在平行四边形中，，
，
，
即，
在和中，

≌，
，
，
即． 

【解析】根据，，利用勾股定理可以得到的长，再根据等腰三角形的性质可以得到的长，从而可以得到的长；
要证明结论成立，只要作辅助线于点，利用勾股定理得到，再利用三角形的全等和平行四边形的性质即可得到结论成立．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：设直线的表达式为，
将点、代入，得，
解得：，
一次函数的表达式为．
当时，，
点的坐标为，
将点代入得，，
解得：，
反比例函数的表达式为．
故答案为：；．
过点作轴于，过点作于，如图所示．
，，
，
又，
∽，
．
设，则有，
解得：或不合题意，舍去，
经检验，是原分式方程的解，
点的坐标为
根据点、的坐标利用待定系数法，即可求出直线的表达式，由点的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数表达式；
过点作轴于，过点作于，则∽，设，根据相似三角形的性质即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出点的坐标，此题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质以及解分式方程，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；根据相似三角形的性质找出关于的分式方程．
 

24.【答案】证明：连接、．
是的切线，
，
，
，，，
≌．
，
，
是的切线．

设交于．
是直径，
，
，
、都是切线，
，，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，设，则，
，，
，
，
∽，
，设，
则有：，
解得负根已经舍弃，
，
，
． 

【解析】想办法证明≌可得；
首先证明，设，则，再证明，由∽，可得，设，则有：，解得负根已经舍弃，推出，由，可得；
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：根据题意知，每间房间定价元时，每天有游客居住的房间数为；
故答案为：；
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为元；
答：当每间房价定为元，宾馆的利润最大为元；
该天利润为元，
，
解得或，
答：这天每间房的定价是元或元．
根据当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲知：每间房间定价元时，每天有游客居住的房间数为；
根据总利润每个房间利润房间数量可得，由二次函数性质可得答案；
由该天利润为元，结合可得，即可解得答案．
本题考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】 

【解析】解：已知，
令，得，
解得：，，
、，
直线经过点，
，
解得：，
，
当时，，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
如图，作轴于，
设点的坐标为，
当∽时，，
，即，
，即，
，
解得，，不合题意，舍去，
当时，，
∽，
，即，
，
解得，不合题意，舍去，，
则，
点坐标为；
当∽时，，
，即，
，即，
，
解得，，不合题意，舍去，
当时，，
∽，
，即，
，
解得，不合题意，舍去，，
则，
点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为和；
如图，作轴交抛物线于，作轴于，作于，
则，
，
，
，
运动时间为，
当和共线时，最小，
则，，
此时；
以点为旋转中心，绕点顺时针旋转，同时将的边扩大倍，得到，过点作轴交于点，连接，
，
，，
，
，
当、、、四点共线时，的值最小为，
，
，
，，
，
，
，，
、，
，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
先求出、两点的坐标，从而求出直线的解析式，求出点坐标后，将点代入抛物线解析式即可求出的值，从而求出二次函数的解析式；
作轴于，设点的坐标为，分两种情况讨论：当∽时，，求出点坐标为；当∽时，，求出点的坐标为；
作轴交抛物线于，作轴于，作于，则，则，运动时间为，当和共线时，最小，即，求出；
以点为旋转中心，绕点顺时针旋转，同时将的边扩大倍，得到，过点作轴交于点，连接，则，当、、、四点共线时，的值最小为，在中，求出，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，利用旋转求最短距离的方法是解题的关键．