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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第1课时导学案
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班级: 姓名: 日期: 《2.2基本不等式》第1课时 基本不等式 导学案地 位: 本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版(2019) 第二章 一元二次函数、方程、不等式2.2基本不等式学习目标: 掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释,提升数学抽象的核心素养; 会用基本不等式解决简单问题,强化逻辑推理和数学运算的核心素养。学习重难点:重点:基本不等式的定义以及推导过程;利用基本不等式解决简单的最值问题。难点:基本不等式的证明过程; 利用基本不等式解决简单的最值问题。自主预习: 本节所处教材的第 页. 复习——① 不等式性质: ② 比较大小: 预习—— 基本不等式: 最 值: 新课导学 学习探究(一)新知导入1. 创设情境,生成问题如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的,颜色的明暗使其看起来像一个风车.【探究1】依据这个会标,你能找到一些相等或不等关系吗? 2.探索交流,解决问题 ∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当 时,等号成立.如果a>0,b>0,我们用,分别代替上式中的a,b,可得 ,当且仅当 时,等号成立.(二)基本不等式基本不等式的定义: 如果 ,通常称不等式 (当且仅当a=b时,等号成立)为基本不等式(basic inequality).其中, 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 【思考1】不等式a2+b2≥2ab与≤成立的条件相同吗? 如果不同各是什么? 【思考2】如何理解“当且仅当”的含义? 【探究2】如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD. 你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?【拓展】 基本不等式的几种常见变形及结论(1)a+b≥2(a>0,b>0);(2)ab≤(a,b∈R);(3)ab≤2,(a,b∈R);(4)+≥2(ab>0);(5)a+≥2(a>0,k>0);(6)≤≤≤ (a,b都是正实数).【辩一辩】判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab、a+b≥2均成立.( )(2)若a≠0,则a+≥2 =4.( )(3)若a,b∈R,则ab≤2.( )(三)基本不等式的简单应用1.对基本不等式的理解例1.给出下面三个推导过程:①因为a,b∈(0,+∞),所以+≥2 =2;②因为a∈R,a≠0,所以+a≥2 =4;③因为x,y∈R,xy<0,所以+=- ≤-2 =-2.其中正确的推导过程为( )A.①② B.②③ C.② D.①③【思维引导】 根据基本不等式中的条件进行判断.【类题通法】基本不等式≥(a>0,b>0)的2个关注点(1)不等式成立的条件:a,b都是正数.(2)验证等号是否成立。 【巩固练习1】下列命题中正确的是( )A.当a,b∈R时,+≥2 =2B.当a>0,b>0时,(a+b)≥4C.当a>4时,a+≥2 =6D.当a>0,b>0时,≥ 2.证明不等式例2.(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++.(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:≥8. 【思维引导】(1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式;(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又-1==≥,可由此变形入手.【类题通法】利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,在证明不等式时注意使用条件;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用. 【巩固练习2】 已知a>0,b>0,c>0,求证:++≥a+b+c. 3.基本不等式与最值【探究3】(1)当x>0,y=x+的最小值是几?(2) 当x>0,y>0,x+y=1,xy的最大值是几? 基本不等式与最值.①设x,y为正实数,若x+y=s(s为定值),则当x=y=时,积xy有 为 .②设x,y为正实数,若xy=p(p为定值),则当x=y=时,和x+y有 为 . 例3.(1)若x>0,求y=x+的最小值,并求此时x的值;(2)设0<x<,求y=4x(3-2x)的最大值。 【类题通法】若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值。 【巩固练习3】已知x,y>0,且满足+=1,则xy的最大值为________. 操作演练 素养提升 (时量: 5分钟 满分: 15 分) 计分: 1.下列不等式中正确的是( )A.a+≥4 B.a2+b2≥4abC.≥ D.x2+≥22.若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中恒成立的是( )A.a2+b2>2ab B.a+b≥2C.+> D.+≥23.若x>0,y>0且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是( )A.> B.+≥1C.≥2 D.≥14.已知m=a++1(a>0),n∈{x|0<n<3},则m,n之间的大小关系是( )A.m>n B.m<nC.m=n D.m≤n 课堂小结通过这节课,你学到了什么知识? 在解决问题时,用到了哪些数学思想? 学习评价 【自我评价】 你完成本节导学案的情况为( )A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 【导学案评价】 本节导学案难度如何( )A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 【建议】 你对本节导学案的建议: 课后作业 完成教材: 第46页 练习 第1,2,3,4,5题
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