高中人教A版 (2019)4.2 指数函数第1课时学案设计

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新课导学
（一）新知导入
【想一想】【提示】第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)(x∈N*).
这两个函数解析式的共同特征：(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.
（二）新知探究
〖知识点1〗 指数函数的概念
【问题1】 1.【提示】(x∈N*).
2．【提示】.
3．【提示】共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值不同.
指数函数的概念
y＝ax(a>0，且a≠1)
【做一做1】
【答案】1. B 2. (eq \r(2))x
〖知识点2〗 指数函数的图象和性质
[问题2] 1． 【提示】 列表：
描点并连线：
2．【提示】共同点:都在x轴上方，都过点(0,1).不同点:的图象是下降的,的图象是上升的.联系:二者关于y轴对称.
【做一做2】
【答案】1. B 2. 减
（三）典例透析
1. 指数函数的概念及应用
【例1】
解析 (1)①中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.
(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.
答案 (1)③ (2)2
【巩固练习1】
解析 (1)由条件知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.
(2)设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝eq \r(3,π)，于是f(x)＝(eq \r(3,π))x.
答案 (1)C (2)f(x)＝(eq \r(3,π))x
2. 指数函数的图象和性质
【例2】
解 y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x＋1)＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x＋1)＋2的图象，如图所示.
【变式探究】
解 ，即时，，∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x＋1)＋2的图象恒过定点.
【巩固练习2】
解 如图．
①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．
②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
3. 指数型函数的定义域和值域
【例3】
解 (1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．
∵eq \f(1,x－4)≠0，∴≠1，
∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))|x|≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，
∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1.
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>0，∴0∴0≤1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，
∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1).
【巩固训练3】
解 ①由5x－1≥0，得x≥eq \f(1,5)，
∴所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,5))))).
由eq \r(5x－1)≥0，得y≥1，
∴所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又∵>0，
∴函数的值域为(0,16]．
(3)函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，
∵2x>0，∴当2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq \f(3,4)，
同时y可以取一切大于eq \f(3,4)的实数，
∴值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).
（五）操作演练 素养提升
1. C 2. C 3. C 4.R (0，＋∞) 5． (3,4)