高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案

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 《5.5.2简单的三角恒等变换》

导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第五章 三角函数

5.5.2简单的三角恒等变换 

学习目标：

1.利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,培养数学抽象的核心素养；

2.通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数，提升数学运算的核心素养；

3.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题，强化数学运算的核心素养。

学习重难点：

重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　两角和差的余弦公式：                                  

②　两角和差的正弦公式：                                  

③　两角和差的正切公式：                                  

④　辅助角公式：                                          

⑤　二倍角公式：                                          

3. 预习——

半角公式：                                            

积化和差公式：                                        

     和差化积公式：                                        

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.

【想一想】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？

2.探索交流，解决问题

【探究】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？

（二）半角公式

1.半角公式：

(1)sin2＝⇒sin＝± ，

(2)cos2＝⇒cos＝± ，

(3)tan2＝⇒tan＝± ，

称之为半角公式，符号由所在象限决定．

1.理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．

2.确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法：

①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号.

②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号．

③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论．

【结论】tan＝＝.

【做一做1】已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin ，cos，tan的值．

【探究1】公式sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]是否成立？

【探究2】公式sin θ＋sin φ＝2sin·cos 是否成立？

（三）典型例题

1.半角公式的应用

例1.　已知sin θ＝，且＜θ＜3π.求cos 和tan 的值．

【类题通法】利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．

(4)下结论：结合(2)求值．　　

【巩固练习1】已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．

2.与三角函数的性质有关的综合题

例2. 已知函数.

（1）求函数的单调减区间；

（2）当时，求函数的值域.

【类题通法】研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.

【巩固练习2】已知函数.

（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）当时，求的最小值和最大值.

3.化简

例3.化简：    (180°<α<360°)．

[变式]　若本例中式子变为：(－π<α<0)，求化简后的式子．

【类题通法】三角函数式的化简要注意“三变”：

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．

【巩固练习3】已知π<α<，化简：＋.

4.三角恒等变换在实际问题中的应用

例4. 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．

【类题通法】三角函数应用题的特点和处理方法

(1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关系上．

(2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题．

(3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做出结论并回答问题．

【巩固练习4】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

（四）操作演练  素养提升

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)

A.　　B．－    C．±  D．±

2．函数的最小正周期为________．

3．化简的结果为________．

4．已知＝，则sin x－cos x＝________.

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                        

课后作业

完成教材：第228页  练习     第1，2，3题

          第229 页   习题5.5 第10,11，15,16,17题