2021-2022学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年湖南省岳阳市平江县高一（下）期末数学试卷

1. 设，则z的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知正三角形ABC的边长为2，那么的直观图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆柱及其展开图如图所示，则其体积为(    )
    

A.
B.
C.
D.

7. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：
   ①若，，则；②若，，则；
   ③若，，，则；④若，，，，，则
   其中真命题的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知三棱锥中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球O的半径为(    )

A. 2 B. 5 C. 13 D.

9. 下列说法正确的是(    )

A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16

10. 对于有如下命题，其中错误的是(    )

A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则的面积为
C. 若，则为等腰三角形
D. P在所在平面内，若，则P是的重心

11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是(    )

A. 直线BC与平面所成的角等于
B. 点C到面的距离为
C. 两条异面直线和所成的角为
D. 三棱柱外接球半径为

12. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是(    )

A. 圆锥SO的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为

13. 在中，若，，，则______.
14. 已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为________.
15. 已知向量，则在方向上的投影向量的模长是______.
16. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为则其外接球的体积为______.
17. 已知复数
    当复数Z为纯虚数时，求实数m值；
    当复数Z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
18. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中
    若，且，求的坐标；
    若，且与垂直，求与的夹角的余弦值．
19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
    求角A；
    若，的面积为，求b，
20. 如图，在三棱锥中，，底面
    求证：平面平面PBC；
    若，，求AB与平面PBC所成角的正弦值．

21. 某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六段：后得到如图所示频率分步直方图.
    根据频率分步直方图，分别求众数，第50百分位数；
    用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数；
    若甲成绩在乙成绩在求在的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率.

22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
    从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
    若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，其中恰有两天下雨的为417，386，196，206，共4组，
故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为
故选：
先求出恰有两天下雨的组数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，属于较易题．
先利用相互独立事件的概率乘法公式求出“甲、乙两人各射击一次，目标没被命中”的概率，再根据对立事件的概率公式求出“甲、乙两人各射击一次，目标被命中”的概率．

【解答】

解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，
甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，
甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为
故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的x与y的值．
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设，则，，，
；
，，，
设，
则，
即，
解得，；

故选：  

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题．
作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积．

【解答】

解：如图所示，
直观图的高为
，
底边长为；
所以的面积为：

故选：

6.【答案】D 

【解析】解：由题意，该圆柱的高为4，底面圆的周长为，
故底面圆的半径为1，
所以圆柱的体积为
故选：
由题意，先求出圆柱的高和底面圆的半径，然后由圆柱的体积公式求解即可．
本题考查了圆柱的侧面展开图的应用，圆柱体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：对于①，假设，，因为，所以，
又，所以，而，所以，正确；
对于②，若，，则或，故错误；
对于③，若，，则，
又，所以在平面内一定存在一条直线l，使，
而，所以，，则，正确；
对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的．
故真命题有3个．
故选
由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，即可判断①；
由线面的位置关系和线面平行的判定定理，即可判断②；
由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理，即可判断③；
由面面平行的判定定理，即可判断④．
本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用线面和面面平行、垂直的判定定理和性质定理，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题
 

8.【答案】D 

【解析】解：设的外接圆的圆心为，半径为r，
在中，，，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，解得，
所以，
又三棱锥的体积为，
所以，
故三棱锥的高，
所以球O的半径为
故选：
设的外接圆的圆心为，半径为r，利用正弦定理和余弦定理进行分析，求出，然后再利用棱锥的体积公式求出棱锥的高，利用球的几何性质求解球的半径即可．
本题考查了球的体积公式的应用，球的几何性质的应用，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，棱锥体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，
则个体m被抽到的概率是，故A正确；
对于B，一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则，
则这组数据的方差是：
，故B错误；
对于C，8个数据70百分数为，
第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，样本数据，，…，的标准差为8，
则数据，，…，的标准差为，故D正确．
故答案为：
利用概率计算判断A；利用平均数判断、方差判断B；利用百分位数判断C；利用标准差判断
本题考查命题真假的判断，考查概率、方差、百分位数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，因为，通过正弦定理可知，故是钝角三角形，故A错；
对于B，若，假设，由余弦定理可知
，可解得或
当，
当，故B错；
对于C，若，则由或者，
即或者，则是等腰三角形或者直角三角形，故C错；
对于D，P在所在平面内，
若，取BC中点D，连接PD，

所以有，
又因为，
所以，所以，
所以A，P，D三点共线，且所以P是的重心，故D正确；
故选：
根据正余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否．
本题考查命题的真假判断，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：正方体的棱长为1，
对于选项A：直线BC与平面所成的角为，故选项A正确．
对于选项B：点C到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确．
对于选项C：两条异面直线和所成的角为，故选项C错误．
对于选项D：三棱柱外接球半径，故选项D正确．
故选：
直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外界求的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，圆锥的底面半径与高均为2，则母线长，
圆锥的侧面积，故A正确；
对于B，当点B为弧AC的中点时，底面三角形ABC面积最大为，
此时三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于C，当B与C趋于重合时，趋于，当B与A趋于重合时，趋于，
的取值范围是，故C错误；
对于D，若，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，
则，在中，，
由余弦定理可得：，
即的最小值为，故D正确．
故选：
直接求出圆锥的侧面积判断A；求出棱锥体积最大值判断B；由极限思想求得的范围判断C；以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，此时的最小，由余弦定理求得最小值判断
本题考查圆锥侧面积与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
利用余弦定理得到，将a，b及的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的长．
【解答】
解：，，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或，
则或
故答案为：或  

14.【答案】 

【解析】解：设点，
点P在线段AB的延长线上，且

即
解得点P的坐标
故答案为
利用向量的坐标运算和向量共线及其相等即可得出．
点评：熟练掌握向量的坐标运算和向量共线及其相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
故在方向上的投影向量为，其模为
故答案为：
根据已知条件，结合向量的投影公式，先求出投影向量，再结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，以及向量模公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径，
外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，
当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为PD，
，解得，
设外接球的半径为R，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得
外接球的体积
故答案为：
求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．
本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：当复数Z为纯虚数时，，解得
当复数Z在复平面内对应的点位于第二象限时，
，解得，
故实数m的取值范围为 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，所以设，
又因为，所以，，
所以或
因为与垂直，所以，即
又，，所以，解得，
 

【解析】设，再根据模长公式求解即可；
根据向量垂直数量积为0可得，再结合向量夹角的公求解即可．
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的数量积的运算，向量垂直的充分必要条件等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：由正弦定理可得：，
由，则，
，
整理得：，即，，
则或，
由，则；
由的面积为，则，
由余弦定理可得：，整理得：，
解得：，
 

【解析】利用正弦定理将边转化成角，将已知等式中涉及的边和角进行转化，利用辅助角公式即可求得A的值；
根据三角形的面积公式及余弦定理即可求得b和c的值．
本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题．
 

20.【答案】证明：底面，
又，，
又，平面PAC，
又平面PBC，平面平面PAC；
解：取PC的中点O，连接AO、BO，
，，
又平面平面PAC且交线为PC，平面PBC，
直线AB在平面PBC中的射影为OB，为AB与平面PBC所成的角，
在直角中，，，
 

【解析】由线面垂直得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；
利用几何法找线面角，然后在三角形中求正弦值．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解由题意可得，，解得，
根据频率分布直方图可知分数段的频率最高，因此众数为75，
又由频率分布直方图可知分数段的频率为，因为分数段的频率为，
所以，第50百分位数即中位数为；
因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为
又在分数段共有人，
因此，在分数段抽取的人数是人；
在的条件下，可知分数段又6人，分数段有5人，
设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，
则，，
则甲乙至少一人被抽到的概率为 

【解析】利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1即可求出a的值，取频率最高组的区间中点值即为众数，再利用中位数左侧小矩形面积之和为求出中位数的估计值．
估计总体容量和样本容量求出抽样比，再乘以分数段的人数，即可求出结果；
设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解．
本题考查频率分布直方图，数据的样本特征和分层抽样以及事件的运算，属于基础题．
 

22.【答案】解：设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛“，，
，派甲参赛赢得比赛的概率更大．
设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，
由知，
，
表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
 

【解析】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比赛的概率更大．
设C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，表示“两人中至少有一个赢得比赛”，，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．