第18讲 y=Asin(ωx+φ)-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第18讲 y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换

       【学习目标】

了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响

        【基础知识】

一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

(1)先平移后伸缩

(2)先伸缩后平移

三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

【考点剖析】

考点一：左右平移变换

例1．（2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（       ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【解析】由题得，所以．

故选B

考点二：沿x轴方向的伸缩变换

例2．（2021-2022学年浙江省温州市高一上学期期期末）已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，

再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A

考点三：沿y轴方向的伸缩变换

例3． （2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量）将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的单调递减区间为

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数图象的一个对称中心为点

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，

再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，

则的最小正周期，故A正确，

由，得，，

即函数的单调递减区间为，故B正确，

是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D．

考点四： y=Asin(ωx＋φ)的性质

例4．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）设函数，则下列结论不正确的是（       ）

A．函数的值域是；

B．点是函数的图像的一个对称中心；

C．直线是函数的图像的一条对称轴；

D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，即函数的值域是，故A正确；

因为，所以函数关于对称，故B错误；

因为，所以函数关于直线对称，故C正确；

将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；

故选B

考点五：三角变换与三角函数性质的交汇

例5. （2021-2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末）已知函数，则下列说法正确的有________.

①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

②在上单调递增

③在内有2个零点

④在上的最大值为

【答案】②③

【解析】由函数，

对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，

得到，所以①不正确；

对于②中，令，解得，

当时，可得，即函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，所以②正确；

对于③中，令，可得，解得，

当时，可得；当时，可得，

所以在内有2个零点，所以③正确；

对于④中，由，可得，

当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.

故答案为②③.

考点六：由图象确定函数解析式

例6．（2021-2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由图可知；设周期为，则，所以；

又，所以.

由，，令，得.

所以；

因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，

所以.故选C.

        【真题演练】

1．（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）要得到函数的图像，只需将的图像（       ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

2. (2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小

正周期为 (　　)

 (　　)

A． B． C． D．

3.（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试）关于函数有如下四个命题：

甲：该函数在上单调递减；

乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；

丙：该函数图象的一条对称轴方程为

丁：该函数图象的一个对称中心为．

如果只有一个假命题．则该命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4.(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

5.（多选）（2021-2022学年山东省临沂第一中学高一下学期6月月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（       ）

A．的图象关于直线对称

B．在上单调递减

C．的图象的一个对称中心是

D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

6.（多选）（2021-2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数

C．函数的图像关于直线对称

D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

7. （2021-2022学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值为______．

8. （2021-2022学年山东省淄博市高一下学期期中）已知的最小正周期为，图像关于直线对称.

(1)求函数的解析式；

(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调递增区间．

       【过关检测】

1. （2021-2022学年青海省海南藏族自治州高级中学高一上学期期末）简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（       ）

A． B． C． D．

2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

3.（2021-2022学年北京市第三十五中学高一下学期期中）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为（       ）

A． B．

C． D．

4.（2021-2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中）已知函数，下列结论错误的是（       ）

A．的值域为

B．的图象关于直线对称

C．的图象关于点对称

D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到

5.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高台县第一中学高一下学期4月月考）要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（       ）

A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

6. （多选）（2021-2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中）函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（       ）

A．

B．函数的单调递减区间为，

C．函数在区间上单调递增

D．直线是函数的一条对称轴

7.（2021-2022学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中）关于函数，下列命题中是真命题的为（       ）

A．为偶函数

B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度

C．的图象关于直线对称

D．在内的增区间为和

8.（2021-2022学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中）将函数（）图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.

9．（2021-2022学年浙江省衢州市高一下学期6月教学质量检测）已知函数

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于x的方程在上有两个不同的解.

①求实数m的取值范围；

②证明：.

10．（2021-2022学年江苏省镇江第一中学高一下学期6月月考）已知函数．

(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；

(2)写出函数在上的单调递减区间；

(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．