第15讲三角函数的概念及诱导公式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第15讲 三角函数的概念及诱导公式

       【学习目标】

1. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

2. 借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式（，的正弦，余弦，正切）

3.理解同角三角函数的基本关系式：

        【基础知识】

一、三角函数的概念

1.单位圆中三角函数的定义

2.三角函数值的符号

规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

二、利用三角函数的定义求值的策略

1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．

三、同角三角函数的基本关系

1.两个基本关系式

2.同角三角函数的基本关系式的变形形式

(1)平方关系变形

sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

(2)商的变形

sinα＝tanαcosα，cosα＝.

3.求三角函数值的方法

(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解

(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解

当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．

4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法

(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．

(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．

4.三角函数求值中常见的变形公式

(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.

(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．

四、利用同角三角函数关系化简的常用方法

1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；

2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；

3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.

五、简单的三角恒等式的证明思路

1.从一边开始，证明它等于另一边；

2.证明左、右两边等于同一个式子；

3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.

六、诱导公式

(1)在公式一～四中，角α是任意角．

(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：

①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.

【考点剖析】

考点一：利用三角函数定义求值

例1．（2021-2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中）已知角的终边经过点，则角的正弦值为（          ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为角的终边经过点，则，，所以.

故选D.

考点二：确定三角函数值的符号

例2．（2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测）下列各式的符号为正的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，故A错误；

因为，，所以，，

所以，故B错误；

因为，所以，所以，故C正确；

因为 ，所以，故D错误.故选C.

考点三：确定角所在象限

例3．（2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考）若且，则角所在的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，

所以满足且，角在第四象限.故选D

考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值

例4．（2021-2022学年海南省华侨中学高一上学期期末）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】A选项，由诱导公式得：，A正确；

B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确；

C选项，，C错误；

D选项，，D错误.故选AB

考点五：齐次分式求值

例5. （2021-2022学年江西省名校高一下学期期中）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，故选D.

考点六：根据sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的关系求值

例6．（2021-2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考）在ABC中，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为在ABC中，，两边平方得；，即，

所以，，即，解得，

所以，故选D

考点七：利用诱导公式求值

例7．（2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中）______．

【答案】

【解析】由题意，原式=

.

考点八：三角函数式的化简

例8．（2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末）若角，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.故选C

考点九：三角函数式证明

例9．求证：

(1)

(2)

【解析】 (1)左边右边.

即证.

(2)左边

右边.

即证：.

        【真题演练】

1．（2021-2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由三角函数的定义可得.故选A

2．（2021-2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中）已知角终边在第一象限，，那么的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，在第一象限，则，所以.

故选C.

3.（2021-2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.故选C

4.（多选）（2021-2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末）已知，，那么的可能值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或．故选BD

5.（多选） (2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点在第一象限，则在内的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因为点在第一象限，

所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，

所以，当位于第一象限时，时，；

当位于第三象限时，时，.故选AB

6.（2021-2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考）已知，则的取值范围是__．

【答案】

【解析】

所以，则

即

7.（2021-2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中）（1）已知，求的值．

（2）化简．

【解析】（1）由sin，有sin，

所以sin；

.

（2）.

8. （2021-2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考）已知.

(1)求的值

(2)若，求的值.

【解析】 (1)，

∴.

(2)原式=，

∵，

又∵，∴，，，

∴，∴原式.

       【过关检测】

1. （2021-2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中）若角满足，，则在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】，是第二或第四象限角；

当是第二象限角时，，，满足；

当是第四象限角时，，，则，不合题意；

综上所述：是第二象限角.故选B.

2.（2021-2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中）设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，

与异号．而已知，所以，．

因为，所以取．

故选C.

3.（2021-2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

解得,

则

.故选C.

4.（多选）（2021-2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考）以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，

则设运动过程中弧长对应的角为，则，根据三角函数的定义可得，

即.故选ABD.

5.（多选）（2021-2022学年山东省德州市高一上学期数学期末）已知，，则可能等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】因为，

所以由得，

所以，

因为，所以可能等于或，故选BD

6.（2021-2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中）______．

【答案】

【解析】

.

7.（2021-2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考）已知，且，则的值为___________.

【答案】

【解析】令，则

∵，则

8.（2021-2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考）若，则__．

【答案】1

【解析】因为，所以，

所以，

所以，

所以

9．（1）化简：tan（其中α为第二象限角）；

（2）求证：1．

【解析】（1）；

（2）左边右边.

10.（2021-2022学年北京市房山中学高一年级4月月考）已知，是关于x的一元二次方程的两根，

(1)求的值；

(2)求m的值；

(3)若，求的值.

【解析】 (1)因为，是关于x的一元二次方程的两根，

所以

(2)因为，是关于x的一元二次方程的两根，

所以，，且，

所以，

所以，得，满足，

所以

(3)由（2）可得，，

因为，所以，所以，

所以