第12讲 对数与对数函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

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第12讲 对数与对数函数       【学习目标】1. 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性和特殊点3.知道对数函数 与指数函数互为反函数         【基础知识】一、对数的概念1.对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数， N叫做真数．2.两种特殊的对数①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN(其中e＝2.71828…)．二、对数与指数的关系1.对数的基本性质①零和负数没有对数，即真数N>0；②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．2.两个重要的对数恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．三、对数运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．四、换底公式1.对数的换底公式： logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．2.三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．五、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质1.定义域： (0，＋∞)．2.值域： (－∞，＋∞)．3.定点： (1,0)．4.单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数．5.函数值变化当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)，0<x<1时，y∈ (－∞，0)；当0<a<1，x>1时，y∈ (－∞，0)，0<x<1时，y∈(0，＋∞)．六、函数的概念对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．【考点剖析】考点一：指数式与对数式的互化例1．已知，则（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D考点二：利用对数恒等式求值例2．（2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一上学期期末）下列各式，，分别等于（       ）A．2，5， B．2，5，35C．2，3， D．4，3，【答案】B【解析】，，，故选B.考点三：对数运算性质的应用例3．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）计算：（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】；故选B考点四：换底公式的应用例4．（2021-2022学年安徽省安庆市高一上学期期末）已知，，用，表示，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，故选D．考点五：求对数型函数的定义域与值域例5.（2021-2022学年河南省扶沟县二高高一上学期考试）函数的定义域为（       ）A．  B．  C． D．【答案】D【解析】由题意，，解得故选D考点六：求对数型函数的单调区间例6．（2021-2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考）设函数，则的单调递增区间为_________．【答案】【解析】记，因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减，由得或，又当时，单调递减.故．故答案为.考点七：利用对数函数的单调性比较大小例7．（2021-2022学年新疆喀什地区疏附县高一上学期期末）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，因为，即，所以.故选C考点八：利用对数函数的单调性求参数范围例8．（2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数是上的增函数，所以，解得 ，所以实数的取值范围是，故选A.考点九：对数型函数的奇偶性例9．（2021-2022学年广东省珠海市斗门第一中学高一上学期12月月考）已知函数，.(1)证明：为偶函数；(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】 (1)证明：定义域为，，即为，则为偶函数；(2)解：，当时，，令，则，，当时，即，在上单调递增，所以时，，解得，当时即，时，，解得：不成立；当时，即，在上单调递减，所以时，，解得不成立．故存在满足条件的．         【真题演练】 1. (2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 (　　)()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6【答案】C【解析】由，当时，，则．故选C．2. （2021新高考全国卷Ⅱ） 已知,,,则下列判断正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】,即.故选C.3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选A．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D．5.（多选）（2021-2022学年广东省揭阳市揭西县高一上学期期末）已知函数，下列说法中正确的是（       ）A．若的定义域为R，则B．若的值域为R，则或C．若，则的单调减区间为D．若在上单调递减，则【答案】BD【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．故选BD6.（多选）（2021-2022学年河南省焦作市高一上学期期末）已知，，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以，同理可得：，所以.所以.故选D7．（2021新高考Ⅰ卷）已知函数是偶函数,则　1　．【答案】1【解析】因为函数是偶函数,为上的奇函数,故也为上的奇函数,所以,所以．8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．(1)求的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】 (1)函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，即，解得，当时，不满足题意，所以；(2)由，得，即，令，易知在上单调递减，则的最大值为.又因为当时，恒成立，即在恒成立，所以.        【过关检测】1. （2021-2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，，，而，即，故.故选C．2.（2021-2022学年浙江省北斗联盟高一下学期期中）在同一直角坐标系中，函数，，（且）的图像可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，则在定义域内为增函数， 在定义域内为减函数，且是由的图象向左平移个单位得到的，则其与轴的交点在区间上，所以AB错误，D正确，若，则则在定义域内为减函数， 在定义域内为增函数，且是由的图象向左平移个单位得到的，则其与轴的交点在区间上，所以C错误，故选D3.（2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一上学期期末）若非零实数，，满足，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以.故选A．4.（2021-2022学年湖南省长沙市南雅中学高一下学期期中）已知函数，则关于不等式的解集为（          ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，设，，，则，故函数的定义域为，且，所以，，则函数为上的奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，令，则函数在上为增函数，且，即函数为奇函数，由可得，即，所以，，解得.因此，不等式的解集为.故选C.5.（2021-2022学年广西柳州市高一4月期中联考）已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】当时，函数是单调递减的，，，当时，是单调递增的，，，因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，所以实数m的可能取值为-1，0.故选AB6.（2021-2022学年江苏省徐州市第三十六中学高一上学期10月月考）若，，则（        ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选AD.7.（2021-2022学年湖北省部分重点中学（六校）高一下学期五月联考）已知函数是函数且的反函数，且的图像过点，则___________.【答案】4【解析】因为函数是函数且的反函数，所以由，解得.8.（2021-2022学年浙江省台州市玉环中学高一上学期月考）函数没有最小值， 则的取值范围是______．【答案】【解析】令，则外函数为，因为在定义域上单调递增，要使函数没有最小值，即的值域能够取到，且不恒小于等于，当时，符合题意，当时开口向下，只需，解得，即；当时开口向上，只需，解得，即；综上可得，即；9. （1）已知，，试用表示；（2）已知，，试用表示．【解析】（1），，，，；（2），，．10.（2021-2022学年湖南省三湘名校教育联盟、五市十校教研教改共同体高一下学期期中）已知函数.(1)判断的单调性并证明；(2)设，，若存在，使得成立，求t的取值范围.【解析】 (1)依题意，，则有，即，解得，函数定义域为，令，任取，且，则，因，即，则，即，有，因此，，即，所以函数是定义域上的单调增函数.(2)，设，则有，而为增函数，因此成立，依题意，成立，即成立，从而得成立，而，，任取，使得，则，于是得在上为增函数，有，从而得，即，解得，所以t的取值范围是.