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2021学年3.2 函数的基本性质第1课时导学案
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班级: 姓名: 日期: 《3.2.1单调性与最大(小)值》第1课时 函数的单调性 导学案地 位: 本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版(2019) 第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质学习目标:1.了解函数的单调区间、单调性等概念,培养学生数学抽象的核心素养;2.会划分函数的单调区间,会利用图象判断函数的单调性,提升直观想象的核心素养;3.会用定义证明函数的单调性,培养逻辑推理的核心素养。学习重难点:重点:1、函数单调性的定义;2、函数单调性的判断和证明。难点:根据定义证明函数单调性.自主预习: 本节所处教材的第 页. 复习——①函数的概念: ②函数的表示: 预习—— 增函数: 减函数: 单调区间: 新课导学 学习探究(一)新知导入1. 创设情境,生成问题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y (百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图. 【探究1】 (1)当时间间隔t逐渐增大,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释? 探索交流,解决问题【探究2】 作出函数 的图象,指出函数的变化趋势.【思考1】 这种变化趋势反映了函数的什么性质? (二)函数的单调性1.增函数与减函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 :(1)如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D上 ,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们称它是 .(2)如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D上 ,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们称它是 . 注意:定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间. 2.函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ,区间D叫做y=f(x)的 .注意:(1)单调区间D⊆定义域I.(2) 函数f(x)在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调.如f(x)=x2等.(3) 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开.(4)并非所有的函数都具有单调性,如f(x)=,它的定义域是N,但不具有单调性.(5)当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示.【辩一辩】 1.若f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数.( )2.函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).( )3.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y=f(x)是增函数.( )4.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,则函数y=-f(x)在区间D上是减函数.( )【做一做】如图是定义在[-5,5]上的函数图象,根据图象得到函数的单调递增区间是: ;单调递减区间是: 。【探究3】 一次函数、二次函数及反比例函数具有怎样的单调性? (三)利用函数图象求函数的单调区间例1. 作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间. 【变式】 将本例函数改为f(x)=|x2+2x-3|,求f(x)的单调区间. 【类题通法】 求函数单调区间可以根据函数的图象.在某区间内,由左至右图象是上升的,该区间就是函数的单调增区间;在某区间内,由左到右图象是下降的,该区间就是函数的单调减区间.(1)函数单调区间的两种求法①图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间.②定义法.即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解.(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有. 【巩固练习1】已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. (四)利用定义判断或证明单调性例2.根据定义证明f=x+在(0,1)上是单调递减. 【类题通法】定义法判断函数单调性的四个步骤 【巩固练习2】根据定义,研究函数f(x)=在x∈(-1,1)上的单调性. (五)利用单调性求参数例3.已知函数f(x)=ax2-x+1在(-∞,2)上单调递减,求a的取值范围. 【延伸】本例条件改为“函数f(x)=ax2-x+1的单调递减区间是(-∞,2)”,又该如何求解? 【类题通法】根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性定义:设单调区间内x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求参数范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数单调区间被对称轴一分为二,根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数.需注意:若一函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 【巩固练习3】若函数f(x)=在R上为增函数, 则实数b的取值范围是________. 操作演练 素养提升 (时量: 5分钟 满分: 15 分) 计分: 1.函数f(x)=x-在(0,+∞)上( )A.递增 B.递减C.先增再减 D.先减再增2.设f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则有( )A.a≥ B.a≤C.a>- D.a<3.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数,当x∈(-∞,-2]时,函数f(x)为减函数,则m等于( )A.-4 B.-8C.8 D.无法确定4.函数f(x)=|x-1|的单调递增区间是________,单调递减区间是________. 课堂小结通过这节课,你学到了什么知识? 在解决问题时,用到了哪些数学思想? 学习评价 【自我评价】 你完成本节导学案的情况为( )A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 【导学案评价】 本节导学案难度如何( )A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 【建议】 你对本节导学案的建议: 课后作业 完成教材:第79页 练习 第2,3,4题 第85 页 习题3.2 第1,2,3,8题
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