人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时导学案及答案

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《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第2课时        两角和与差的正弦、余弦、正切 导学案      参考答案新课导学   （一）新知导入  （二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式【探究1】在公式C(α－β)中，令－β代替β，则有cos(α＋β)＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β.即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C(α＋β))两角和的余弦公式：=．简记作 C（α ＋ β ） ．【做一做1】【解析】原式＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝. 【探究2】运用C(α＋β)和诱导公式，有sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S(α＋β))在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到sin(α－β)＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.即sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S(α－β))两角和差的正弦公式： ＝ ，（ S（α ＋ β ） ） ＝ ; （ S（α － β ） ） 【做一做2】【解析】∵cos α＝，α∈，∴sin α＝＝.∵sin β＝－，β是第三象限角，∴cos β＝－＝－.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.【做一做3】【解析】sin x＋cos x＝＝＝sin. 【探究3】 当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有tan(α＋β)＝＝.当cos αcos β≠0时，将上式的分子、分母分别除以cos α·cos β，得tan(α＋β)＝.(T(α＋β))由于tan(－β)＝＝＝－tan β.在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝＝.即tan(α－β)＝.(T(α－β)) 【探究4】　不是，α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.【做一做4】【解析】因为，，所以． 【做一做5】【解析】　(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β.又∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan α·tan β，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋1＝2.（三）典型例题例1.【解析】(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30° ＝.(2)法一：原式＝2＝2＝－2cos＝－2cos ＝－.法二：原式＝2＝2＝2sin＝－2sin ＝－.(3)原式＝＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－. 【巩固练习1】(3)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.【解析】 (1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)·cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝.(2)原式＝2＝2＝2sin＝2sin ＝.(3)∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.  例2.【解析】∵<β<α<，∴0<α－β<，<α＋β<.又∵sin(α＋β)＝－，∴π<α＋β<，∴cos(α＋β)＝－.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.【巩固练习2】【解析】　tan＝tan＝ ＝＝.   例3.  【解析】 (1)f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2＝2sin.∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2.(2)∵y＝＝＝cos＝cos＝sin.∴T＝2π【答案】　(1)　2　－1　(2)2π  【巩固练习3】【解析】　(1)(cos x－sin x)＝×＝2(cos cos x－sin sin x)＝2cos.(2)3sin x＋3cos x＝6＝6sin.  例4.【解析】∵sin α＝，α为锐角，∴cos α＝＝.又sin β＝，β为锐角，∴cos β＝＝.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又α、β∈，∴0<α＋β<π，因此α＋β＝.【探究】【解析】　由sin(α＋β)＝sin αcos β+cosαsin β＝∵sin α＝，α为锐角,∴α∈(0,), 又sin β＝，β为锐角，∴β∈(0, )∴α+β∈(0,)∴α+β＝.  【巩固练习4】【解析】　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，)．∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，∴2α－β＝－.例5.【证明】　sin(2α＋β)＝3sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α⇒tan(α＋β)＝2tan α.所以等式成立。 【巩固练习5】【证明】　左边= －2cos(α＋β)＝＝＝＝＝= 右边。所以等式成立。（四）操作演练  素养提升【答案】1.B    2.B    3.D      4.－