2021-2022学年南京市第一中学中考数学最后一模试卷含解析

这是一份2021-2022学年南京市第一中学中考数学最后一模试卷含解析，共23页。试卷主要包含了关于x的方程=无解，则k的值为等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（　　）
A．﹣=10 B．﹣=10
C．﹣=10 D． +=10
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④
4．某大型企业员工总数为28600人，数据“28600”用科学记数法可表示为（　　）
A．0.286×105 B．2.86×105 C．28.6×103 D．2.86×104
5．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
6．关于x的方程=无解，则k的值为（　　）
A．0或 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（　　）

A．﹣5 B． C． D．7
8．气象台预报“本市明天下雨的概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（　　）
A．本市明天将有的地区下雨 B．本市明天将有的时间下雨
C．本市明天下雨的可能性比较大 D．本市明天肯定下雨
9．如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．如图，内接于，若，则　　

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l1分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l1．若l1与l2的距离为5，l2与l1的距离为7，则Rt△ABC的面积为___________

14．若实数m、n在数轴上的位置如图所示，则（m+n）（m-n）________ 0，（填“＞”、“＜”或“＝”）

15．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．

16．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为__．
17．在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为26m，那么这根旗杆的高度为_____m．
18．因式分解：　 　．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．

20．（6分）计算.
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C，
（1）求出的值；
（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；
（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是轴上的一个动点，直接写出PC＋PD的最小值（不必说明理由）．

22．（8分）如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B．求反比例函数的解析式；若点E恰好落在反比例函数y=上，求平行四边形OBDC的面积．

23．（8分）如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.
（1）当圆过点时，求圆的半径；
（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；
（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.

24．（10分）如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224，求点P的坐标．

25．（10分）如图，在Rt中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE．
（1）求；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求的周长．

26．（12分）小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学．他随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为　 　；他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率．
27．（12分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=2x的图象相交于点A，其横坐标为1．
（1）求k的值；
（1）点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为2．过点B作CB∥OA，交x轴于点C，求点C的坐标．




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可.
【详解】
设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，
根据题意列方程为：.
故选：.
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.
2、C
【解析】
解：A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，不能约分，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．
3、B
【解析】
根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．
【详解】
解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误
将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b
∴b=，
∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正确；
由正弦定义sinα=，则③正确；
不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象
则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．
故答案为：B．
【点睛】
二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．
4、D
【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可
【详解】
28600=2.86×1．故选D．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键
5、D
【解析】
解： ∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
6、A
【解析】
方程两边同乘2x(x+3)，得
x+3=2kx，
（2k-1）x=3，
∵方程无解，
∴当整式方程无解时，2k-1=0，k=，
当分式方程无解时，①x=0时，k无解，
②x=-3时，k=0，
∴k=0或时，方程无解，
故选A.
7、C
【解析】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，求出解析式，再将A（3，m）代入，可求得m.
【详解】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，得
，
解得
所以，一次函数解析式y=x+1，
再将A（3，m）代入，得
m=×3+1=.
故选C.
【点睛】
本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
8、C
【解析】
试题解析：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：
A、明天降水的可能性为85%，并不是有85%的地区降水，错误；
B、本市明天将有85%的时间降水，错误；
C、明天降水的可能性为90%，说明明天降水的可能性比较大，正确；
D、明天肯定下雨，错误．
故选C．
考点：概率的意义．
9、C
【解析】
分析：
过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数.
详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；
（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；
（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；
综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.
故选C.

点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.
10、C
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
考点：最简二次根式．
11、B
【解析】
解：∵二次函数y=ax3+bx+c（a≠3）过点（3，3）和（﹣3，3），
∴c=3，a﹣b+c=3．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞3．
∴a与b异号．
∴ab＜3，正确．
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b3﹣4ac＞3．
∵c=3，
∴b3﹣4a＞3，即b3＞4a．正确．
④∵抛物线开口向下，∴a＜3．
∵ab＜3，∴b＞3．
∵a﹣b+c=3，c=3，∴a=b﹣3．∴b﹣3＜3，即b＜3．∴3＜b＜3，正确．
③∵a﹣b+c=3，∴a+c=b．
∴a+b+c=3b＞3．
∵b＜3，c=3，a＜3，
∴a+b+c=a+b+3＜a+3+3=a+3＜3+3=3．
∴3＜a+b+c＜3，正确．
⑤抛物线y=ax3+bx+c与x轴的一个交点为（﹣3，3），设另一个交点为（x3，3），则x3＞3，
由图可知，当﹣3＜x＜x3时，y＞3；当x＞x3时，y＜3．
∴当x＞﹣3时，y＞3的结论错误．
综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．
12、B
【解析】
根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、17
【解析】

过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l1于F，如 图，
∵EF⊥l2，l1∥l2∥l1，
∴EF⊥l1⊥l1，
∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF=5，AE=BF=7，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，
∴AB2=74，
∴S△ABC=AB⋅BC=AB2=17.
故答案是17.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线间的距离，三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，构造全等三角形，通过证明三角形全等对应边相等，再利用三角形的面积公式即可得解.
14、＞
【解析】
根据数轴可以确定m、n的大小关系，根据加法以及减法的法则确定m＋n以及m−n的符号，可得结果．
【详解】
解：根据题意得：m＜1＜n，且|m|＞|n|，
∴m＋n＜1，m−n＜1，
∴（m＋n）（m−n）＞1．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查了整式的加减和数轴，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15、
【解析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，

当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴，
即：，
所以可得：PM=．
16、
【解析】
甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据甲、乙两厂5月份用水量与6月份用水量列出关于x、y的方程组即可.
【详解】
甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.
17、13
【解析】
根据同时同地物高与影长成比列式计算即可得解．
【详解】
解：设旗杆高度为x米，
由题意得,，
解得x=13.
故答案为13.
【点睛】
本题考查投影，解题的关键是应用相似三角形.
18、．
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、证明见解析
【解析】
根据AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴，
∴BD=CD．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
20、
【解析】
分析：先计算，再做除法，结果化为整式或最简分式.
详解：




.
点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.
21、（2）2；（2）y=x+2；（3）．
【解析】
（2）确定A、B、C的坐标即可解决问题；
（2）理由待定系数法即可解决问题；
（3）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′的长．
【详解】
解：（2）∵反比例函数y=的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴A（2，2），B（-2，-2），C（3，2）
∴k=2．
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x+2．
（3）∵C、D关于直线AB对称，
∴D（0，4）
作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，

此时PC+PD的值最小，最小值=CD′=．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．
22、（1）y=；（2）1；
【解析】
（1）把点B的坐标代入反比例解析式求得k值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据点B（3，4）、C（m，0）的坐标求得边BC的中点E坐标为（，2），将点E的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，根据平行四边形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）把B坐标代入反比例解析式得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）∵B（3，4），C（m，0），
∴边BC的中点E坐标为（，2），
将点E的坐标代入反比例函数得2=，
解得：m=9，
则平行四边形OBCD的面积=9×4=1．
【点睛】
本题为反比例函数的综合应用，考查的知识点有待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键．
23、（1）x=1 （2） （1）
【解析】
(1)作AM⊥BC、连接AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=1，据此知tanB=tanC= ，从而可设PH=1k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；
(2)由PH=PE=1k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9−8k，由△ABE∽△CEH得 ，据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；
(1)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=1k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，据此得出NC= k、HN=k及PN=PC−NC=k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案．
【详解】
(1)作AM⊥BC于点M，连接AP，如图1，

∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，
∴BM=4、AM=1，
∴tanB=tanC=，
∵PH⊥DC，
∴设PH=1k，则CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴PM=BC−BM−PC=5−5k，
∴AP=AM+PM=9+(5−5k) ，
∵PA=PH，
∴9+(5−5k) =9k，
解得：k=1或k=，
当k= 时，CP=5k= >9，舍去；
∴k=1，
则圆P的半径为1．
(2)如图2，

由(1)知，PH=PE=1k、CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴BE=BC−PE−PC=9−8k，
∵△ABE∽△CEH，
∴ ，即 ，
解得：k= ，
则PH= ，即圆P的半径为，
∵圆B与圆P相交，且BE=9−8k= ，
∴