2022年辽宁省辽阳市中考数学试卷（含解析）

2022年辽宁省辽阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码的销售量如下表所示：

所售双女鞋尺码的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列一元二次方程无实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是(    )

A. 甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点下列说法：；；若与是抛物线上的两个点，则；方程的两根为，；当时，函数有最大值．其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为平方米，为亚洲最大，将数据用科学记数法表示为______．
12. 分解因式：______．
13. 反比例函数的图象经过点，则的值是______．
14. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是结果保留一位小数 ______．

15. 在平面直角坐标系中，线段的端点，，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______．
16. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是______．

17. 如图，在中，，，，点为斜边上的一个动点点不与点、重合，过点作，，垂足分别为点和点，连接，交于点，连接，当为直角三角形时，的长是______．

18. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共96分）

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，并设置了个岗位：防疫宣传；协助核酸采样；物资配送；环境消杀；心理服务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．
    光明社区志愿者报名情况统计表

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
______，______；
补全条形统计图；
光明社区约有人，请你估计该市市区万人口中有多少人报名当志愿者？
光明社区从报名“心理服务”岗位的人中筛选出名志愿者，这人中有人是一级心理咨询师，人是二级心理咨询师，现从人中随机选取人负责心理服务热线，请用列表或画树状图的方法求所选人恰好都是一级心理咨询师的概率．

21. 麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割公顷小麦，一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同．
    一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
    该农场安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台型收割机？
22. 如图，港口在港口的南偏西方向上，距离港口海里处．一艘货轮航行到处，发现港口在货轮的北偏西方向，港口在货轮的北偏西方向．求此时货轮与港口的距离结果取整数．
    参考数据：，，，

23. 某超市以每件元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足如图所示的一次函数关系．
    求与之间的函数关系式；
    销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

24. 如图，在中，，▱的顶点，在斜边上，顶点，分别在边，上，以点为圆心，长为半径的恰好经过点和点．
    求证：与相切；
    若，，求的长．

25. 在中，，，线段绕点逆时针旋转至不与重合，旋转角记为，的平分线与射线相交于点，连接．
    如图，当时，的度数是______；
    如图，当时，求证：；
    当，时，请直接写出的值．
     

26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，交直线于点，连接．
    求抛物线的解析式；
    当点在第二象限且时，求点的坐标；
    当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A选项错误；
B.，故B选项正确；
C.，故C选项错误；
D.，故D选项错误；
故选：．
根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项，同底数幂的除法法则解答即可．
本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，出现的次数最多，
众数是．
故选：．
根据众数的意义解答即可．
本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根判断即可．
此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可得，甲射击次的成绩分别为，，，，，，，，，；乙射击次的成绩分别为，，，，，，，，，．
甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；
甲的众数是，乙的众数是，故B错误，不符合题意；
甲的平均数为，乙的平均数为，故C错误，不符合题意；
甲的中位数是，乙的中位数是，故D错误，不符合题意．
故选：．
分别根据方差、众数、平均数和中位数的定义解答即可．
本题考查数据的收集与整理，熟练掌握方差、众数、平均数和中位数的意义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，，
方程的两根为，，
的结论正确；
直线经过点，
，
．
，
，
，
．
函数


，
，
当时，函数有最大值，
的结论不正确．
综上，结论正确的有：，
故选：．
利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法就是用幂的方式来表示，写成的形式，其中位数．
本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数．
 

12.【答案】 

【解析】解：，

．
应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
根据反比例函数的性质解答即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是，
故答案为：．
根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向左平移个单位，
的对应点的坐标为．
故答案为：．
根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

16.【答案】 

【解析】解：由作图可得，，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．
由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．
 

17.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
当时，如图，

在中，，，，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
当时，如图，

，，，
四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，
综上所述，当为直角三角形时，的长是或，
故答案为：或．
由已知求出，，再分和两种情况进行讨论，即可求出答案．
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：将沿翻折得到，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点、、三点共线时，最小，
连接，设，

由勾股定理得，，
，
，
解得，
，
故答案为：．
由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用面积法可得的长．
本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：统计的志愿者总人数为：，
，
，
故答案为：，；
，
补全的条形统计图如右图所示；
万人，
答：估计该市市区万人口中有万人报名当志愿者；
设一级心理咨询师用表示，二级心理咨询师用表示，
树状图如下所示：

由上可得，一共有种可能性，其中所选人恰好都是一级心理咨询师有种可能性，
所选人恰好都是一级心理咨询师的概率为．
根据岗位的频数和频率，可以计算出统计的志愿者总人数，然后再计算出的值即可；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出的值，从而可以将条形统计图补充完整；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该市市区万人口中有多少人报名当志愿者；
根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
本题考查列表法与树状图法、频数分布表、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦公顷，一台型收割机平均每天收割小麦公顷．
设安排台型收割机，则安排台型收割机，
依题意得：，
解得：．
答：至少要安排台型收割机． 

【解析】设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间工作总量工作效率，结合一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排台型收割机，则安排台型收割机，根据要确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，，
在中，海里，
海里，
海里，
在中，海里，
海里，
此时货轮与港口的距离约为海里． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：，
故与的函数关系式为；
，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
售价定为元件时，每天最大利润为元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
 

24.【答案】证明：连接，

四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：过点作于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，，
，
四边形是平行四边形，且，
▱是菱形，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】连接，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形是平行四边形，则，从而得出，从而证明结论；
过点作于点，根据，可得的长，由，得▱是菱形，则，从而得出和的长，进而求出的长．
本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：线段绕点逆时针旋转至，，
，，
，
又，
，
平分，
，
，
故答案为：；
证明：延长到，使，连接，

，，
，
平分，
，
又，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
在中，，
，
，
，
；
解：如图，当时，

由可知，，
，
，
；
如图，当时，

在上截取，连接，方法同可证≌，
，
，
，
≌，
，，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
由旋转的性质得出，，求出，由三角形外角的性质可求出答案；
延长到，使，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出，，，证明≌，由全等三角形的性质可得出，，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
分两种情况画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
过点作交于，交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
解得或，
或；
设，
当时，过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，
，，
，
≌，
，，
，，
，，
点纵坐标为，
，
解得或，
点坐标为或；
当时，过点作轴交于点，过点作交于点，
，，
，
，
≌，
，，
，
点纵坐标为，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或． 

【解析】将点，代入，即可求解；
过点作交于，交于点，设，，由，可得，求出或；
设，当时，过点作轴交于点，过点作交于点，证明≌，可得点纵坐标为，求出点坐标为或；当时，过点作轴交于点，过点作交于点，证明≌，得到点纵坐标为，求得或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，灵活应用平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．