初中数学沪科版八年级上册15.3 等腰三角形备课课件ppt

这是一份初中数学沪科版八年级上册15.3 等腰三角形备课课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了学习目标及重难点，课程导入，等腰三角形的性质，定理1，等腰三角形的定义，定理2，课程讲授，新课推进，ABAC，你能验证你的结论吗等内容，欢迎下载使用。

1.等腰三角形的判定定理及其应用;（重点）2.等腰三角形的性质定理与判定定理的区别．（难点）
等腰三角形的两个底角相等.简称“等边对等角”
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简称“三线合一”
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
如图，位于B、C两处的两消防车接到A处失火楼房的报警，当时测∠B=∠C.如果这两辆消防车以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑其他因素）？
探索 1：等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
验证结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
过点A作AD⊥BC，D为垂足
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB与△ADC中，
∴ △ADB≌△ADC
(全等三角形对应边相等)
有两个角相等的三角形是等腰三角形
∵ 在△ABC中，∠B=∠C

这个定理叫做等腰三角形的判定定理， 它是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据，也是判定两条线段是否相等依据之一.
问：如图，下列推理正确吗?
错，因为都不是在同一个三角形中.
∵ ∠1=∠2 ∴ BD=DC
∵ ∠1=∠2 ∴ DC=BC
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
∵ 在△ABC中， ∠A=∠B(已知)
∴ BC=AC(等角对等边)
已知：如图，△ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：△ABC是等边三角形
∴ AC=AB(等角对等边)
∴ BC=AC=AB(等量代换)
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形的定义)
探索 2：等腰三角形的判定定理推论
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
∵ 在△ABC中，∠A=∠B=∠C
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
问题：如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？
已知：△ABC中，AB=AC， ∠A=60°.求证：△ABC是等边三角形
= ×(180°-∠A）=60°
且 ∠A=60°(已知)
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
已知：△ABC中，AB=AC， ∠B=60°.求证：△ABC是等边三角形
且 ∠B=60°(已知)
∴ ∠A=180°-∠B-∠C= 60°
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1、等腰三角形的判定定理及其推论的内容是什么？
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
2、判定一个三角形是否为等腰三角形的方法有几种？
3、判定一个三角形是否为等边三角形的方法有几种？
探索 3：含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　　∠C =90°，∠A =30°，　　
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的 一半． (2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. (3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
3. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3 B．2 C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，△EOP≌△DOP，∴PD＝PE＝1.5.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.
解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地；
（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB， ∠BAC=30 °， ∠DBC=60°， ∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB， ∴BC=AB ，(等角对等边) 即 BC=AB=10×2=20 (海里）.
答：B处到礁石C的距离为20海里.
已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．
已知：如图，AB与CD交于点P，CP=PD，∠A=42°，∠CPB=138°，∠B=69°. 求证：AC=PB.
∵ ∠CPB=138°
∴ ∠CPA=180°-138°=42°
又∵ ∠CPB=138°，∠B=69°
∴ ∠D=∠CPB-∠B=69°
已知：△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=45°，BC=10cm. 求：AD的长度.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
= BC=5 (cm)
90°-45°=45°
如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且AF=BD=CE. 求证：△DEF也是等边三角形.
∵ △ABC是等边三角形
∴ BC－BD=AC－CE
在△AEF和△CDE中，
∴ △AEF≌△CDE（SAS）
∴ △DEF是等边三角形
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.求证：BC＝CD.
∴ ∠ABD=∠ADB
∵ ∠ABC=∠ADC
∴ ∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB
即 ∠DBC=∠BDC
如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，证明：△ADE是等边三角形．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BDA＝∠CEA＝90°
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∴ Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)
∠EAD＝∠BAD＝60°
∴ △ADE是等边三角形
如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点.求证：BM=CM.
∴ ∠ABC=∠ACB
∴ BD⊥AC，CE⊥AB
∴ ∠BEC=∠CDB=90°
∴ ∠1+∠ACB=90°
∠2+∠ABC=90°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F.求证：△CEF是等腰三角形．
∵ ∠ACB＝90°,
∴ ∠EAC＋∠AEC＝90°,
∠BAE＋∠AFD＝90°
∴ ∠AEC＝∠AFD
∵ AE是∠BAC的角平分线
∴ ∠BAE＝∠EAC
又∵ ∠AFD＝∠EFC
∴ △CEF是等腰三角形
2.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q, 求证:BP=2PQ.
∴△ADC≌△BEA(SAS).
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，
∴ ∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.∴ ∠ABE+∠BAP=60°.∴ ∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，
∴ ∠PBQ=30°，
∴ ∠BQP=90°，