初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线备课ppt课件

这是一份初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线备课ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了学习目标及重难点，课程导入，课程讲授，新课推进，随堂小练习，PDPC，∴PCPD，应用所具备的条件，定理的作用，证明线段相等等内容，欢迎下载使用。

1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线;（重点）2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理.（难点）
如图是平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，你能说一说“AE是否平分∠A，∠E呢？”
通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如图.
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
探索 1：尺规作角平分线
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）作法： 1、 以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）.
想一想：为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP， ∴ △OMP≌ △ONP,（SSS） ∴∠MOP=∠NOP, 即OP平分∠AOB.
探索 2：过一点作已知直线的垂线
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.直线CF就是所求作的垂线.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：
已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C.
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法: 1.作直线AB； 2.过点A作直线AB的垂线AC； 3.作∠CAB的平分线AD. ∠DAB就是所要求作的角.
探索 2：角平分线的性质
1. 操作测量：过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB,点C、D是垂足，你能猜想PC,PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PC的大小关系，写出结论：__________
实验：OP是∠AOB的平分线，点P是射线OP上的任一点
已知：如图， ∠AOP= ∠BOP,点P在OP上，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证：PD=PC.
∵ OP平分∠AOB,(已知)
∴ ∠AOP= ∠BOP.（角平分线定义）
验证猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等
又∵ PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴ ∠PCO= ∠PDO=90°(垂直的定义)
在△PCO和△PDO中，
∠AOP= ∠BOP，(已证)
∠PCO= ∠PDO，(已证)
OP= OP，(公共边)
∴ △PCO ≌ △PDO(AAS).
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
PC⊥OA,PD⊥OB，
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = , ( )
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌Rt△CDF(HL).
1、如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.
如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，且CE=BC.
（1）用尺规作图的方法，过点E作AC的垂线，交CD延长线于点F；
（2）求证：△ABC≌△FCE.
解：（1）作图如图所示.
（2）证明：∵EF⊥AC,∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°, ∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE,∴∠ABC=∠FCE.
在△ABC与△FCE中，
∴△ABC≌△FCE(ASA).
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，∴ PM= PE.同理， PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
如图所示，D是∠ACG平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.
已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.(SAS)∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.