沪科版八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明备课课件ppt

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1.理解并掌握三角形的外角的概念，能够在能够复杂图形中找出外角;（重点）2. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（难点）
1、在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边所夹的角叫作三角形的内角，
三角形的内角和是180 °.
2、如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= .
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.

探索 1：三角形的外角的概念
定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
探索 2：三角形的外角的性质
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.
2、如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1 的大小 .
∵ ∠2是△ABC的外角
又 ∵ ∠3是△DCE的外角
∴ ∠3＞∠2＞∠1
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
三角形内角和定理的推论
如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠BCA
∠3=∠BAC+∠ABC
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC
∴ ∠1+∠2+∠3=360°
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
∴ ∠1+∠2+∠3=
如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠1+∠BAC=180°
∠2+∠ABC=180°
∠3+∠BCA=180°
∵ ∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°
∴ ∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°
（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠1+∠4+∠DAC=360°
思考： 你能总结出三角形三个外角 (三个顶点处各取一个) 和的数量关系吗？
三角形的三个外角(三个顶点处各取一个) 的和等于360°.
即： 三角形的外角和等于360°.
1.判断下列命题的对错.(1) 三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）(2) 三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）(3) 三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）(4) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）(5) 三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）(6) 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. ( )(7)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2、求下列各图中∠1的度数.
3、如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
4、 (1) 如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
∵ ∠ADC是△BDC的外角，
且∠B=45 °,∠BCE=20 °
又 ∵ ∠AEC是△ADE的外角，
且∠BAE=36°,∠ADC=65°
= ∠BAE+∠ADC
5、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按从大到小的顺序排列，并说明理由.
∵ ∠1是△BDE的外角
又 ∵ ∠2是△ADC的外角
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角)
6.把图中∠1、 ∠2、 ∠3、∠4按从大到小的顺序排列.
∠4＞∠3＞∠2＞∠1
如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
连接AD并延长于点E.
∵ ∠3是△ABD的外角，
∴ ∠3=∠1+∠B，
∵ ∠BDC=∠3+∠4，
=∠1+∠ABD+∠2+∠C
=∠BAC+∠ABD+∠C
又∵ ∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°
51°+20°+30°
延长BD交AC于点E.
∵ ∠DEC是△ABE的外角,
且∠A=51°,∠B=20°
∵ ∠BDC是△DEC的外角,
且∠DEC=71°，∠C=30°
延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
∠B+∠E+∠BFE=180°
∠ECD+∠BDC+∠CFD=180°
∵ ∠BFE=∠CFD
∴ ∠B+∠E=∠ECD+∠BDC
∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°
∴ ∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°
把分散的角集中到同一个三角形中，最后利用三角形的内角和定理去解决问题.
即利用“8”字型图形的性质
∵ ∠BFC是△BFE的外角
∴ ∠BFC=∠B+∠E
∵ ∠CGD是△AGD的外角
∴ ∠CGD=∠A+∠D
又∵ ∠C+∠BFC+∠CGD=180°
∴ ∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°
即 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E=180°
本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想，
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠E+ ∠F的度数.
∠E+∠F+∠EDF=180°
∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
∵ ∠EDF=∠BDC
∴ ∠E+∠F=∠DBC+∠DCB
∵∠A+∠ABF+∠FBC+∠DCB+∠ACD=180°
∴ ∠A+∠ABF+∠E+∠F+∠ACD=180°
∵ ∠BGC是△AGC的外角
∴ ∠BGC=∠A+∠C
∵ ∠BDG是△DEF的外角
∴ ∠BDG=∠DEF+∠F
又∵ ∠B+∠BGC+∠BDG=180°
∴ ∠B+∠A+∠C+∠DEF+∠F=180°
延长CD交AB于点G.
如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.