第11讲 直线的方程 -【【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第11讲 直线的方程

       【学习目标】

1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式）

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标

        【基础知识】

一、直线的点斜式方程

1.直线的点斜式方程

2.点斜式方程的应用

(1)经过点P0(x0,y0),且斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示,其方程为x=x0.

(2)经过点P0(x0,y0),且斜率为0的直线能用点斜式方程表示,其方程为y=y0.

(3)过定点P0(x0,y0)的直线系方程:我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0),由于过点P0(x0,y0)且与x
轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0.

二、直线的斜截式方程

1.把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距   

(1)直线l在y轴上的截距,就是直线l与y轴交点的纵坐标   .

(2)直线l在y轴上的截距存在,等价于直线l的斜率存在.

2.直线的斜截式方程

3.斜截式方程的应用

(1)斜率为k的直线系方程:若直线的斜率存在,则可设直线的方程为y=kx+b,当b取不同值时,
这个方程表示斜率为k的直线系方程.

(2)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1.

4.截距不是距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和
零,而距离是一个非负数.

三、直线的两点式方程

1.直线的两点式方程

2.对直线的两点式方程的理解

(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.

(2)直线的两点式方程也可以写成(y-y2)(x1- x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,则可表示任意的直线,但不再称其为直线的两点式方程.

3.写直线的两点式方程的步骤

(1)已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴.

(2)若直线垂直于坐标轴,则直接写出方程.

(3)若直线不垂直于坐标轴,则可根据两点式求出直线的方程.

4.运用直线的两点式方程时的注意事项

(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条
件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.

(2)由于减法是有序的,所以用两点式求直线方程时常因字母或数字的顺序错位而导致错误.

四、直线的截距式方程

1.直线的截距式方程

2.对直线的截距式方程的理解

(1)若直线与x轴相交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距,也称横截距;若直线与y轴相交
于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距,也称纵截距.

(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即两个截距存在且都不为0,因此它不能表 示过坐标原点和垂直于x轴、y轴的直线.

3.运用直线的截距式方程时的注意事项

题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线的方程,一定要注意考虑“零截距”的情况.

五、直线的一般式方程

1.概念

在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示出来,每一
个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程 ,简称一般式.

2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,则x= ,它表示一条与y轴平行或重合的直线;若A=0,B≠0,

则y=,它表示一条与x轴平行或重合的直线.

3.直线方程的五种形式的比较

   【考点剖析】

考点一：直线的点斜式方程

例1．（2020-2021学年广西高二上学期学业水平考试）已知直线l的斜率为2，且经过点，那么直线l的方程为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，直线l的斜率为2，且经过点，所以直线的方程为.

故选D

考点二：直线的斜截式方程

例2．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.

故选B

考点三：直线的两点式方程

例3．（2021-2022学安徽省合肥市六校联考高二上学期期末）已知直线过点，，则直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选C．

考点四：直线的截距式方程

例4．（2021-2022学年广东省佛山市第一中学高二上学期段考）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线有（       ）条

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】设直线l过原点，则l的方程为 ，将点（2,1）坐标代入，

得 ，即l的方程为 ；

若直线l不过原点，设其为 ，将点（2,1）坐标代入，

得……① ，由于 ，分别代入①，

解得 ，即直线l的方程为 ， ；

共有3条；故选C.

考点五：直线的一般式方程

例5．（2021-2022学年山东省青岛第十九中学高二上学期10月月考）过点且与直线平行的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，设平行于直线的直线的方程为，

因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.

故选D.

考点六：直线的平行问题

例6．（2021-2022学年广东省名校联盟高二下学期大联考）若直线与直线平行，则m=（       ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】A

【解析】因为直线与直线平行，所以，解得．故选A

考点七：直线的垂直问题

例7．（2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考）若直线与直线垂直，则a=（     ）

A．-2 B．0 C．0或-2 D．1

【答案】C

【解析】因为两直线垂直，所以，解得：或.故选C

考点8：直线的方程与其他知识的交汇

例8．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.

(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；

(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.

【解析】 (1)因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，

所以直线l的倾斜角为，

所以直线l的斜率为，

所以直线l的方程为，即；

(2)设，，直线l的方程为，代入点可得，

若选①：，当且仅当时等号成立，

此时直线l的斜率，

所以直线l的方程为，即；

若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，

所以，即面积最小为4，

此时直线l的斜率，

所以直线l的方程为，即.

        【真题演练】

1. （2021-2022学年河北省临城中学高二下学期开学考试）已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线l的倾斜角为120°，则其斜率为tan120°＝，则与l垂直的直线斜率为.

A、B、C、D选项中的直线斜率分别为，，，，故选A.

2.（2021-2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中）过点且方向向量为的直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由方向向量得直线的斜率为－，所以得直线方程为，即．

故选C.

3. （2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二上学期期末）直线的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵直线的斜率,，设直线的倾斜角为，则，解得.故选A.

4.（2021-2022学年上海市复兴高级中学高二上学期期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线方程为，，

所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为

所以面积为，即，

所以或,

解方程，即，解得，

解方程，即，解得

所以这样的直线有3条.故选C

5.（2021-2022学年云南省昆明市第三中学高二上学期期中）已知直线l∶x+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可以是（       ）

A．0 B．1 C．-1 D．-2.

【答案】ABCD

【解析】令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距为2＋a，

∴不论a为何值，直线l在x轴和y轴上的截距总相等，故选ABCD.

6. （2021-2022学年浙江省绍兴市上虞区高二上学期期末）下列说法正确的是（       ）

A．直线的倾斜角范围是

B．若直线与直线互相垂直，则

C．过两点，的直线方程为

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【解析】对A：直线，其斜率，设直线倾斜角为，故可得，则，故A正确；对B：直线与直线互相垂直，则，

解得或，故错误；对：过两点，的直线方程为，故C正确；对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为和，故D错误；故选AC.

7. （2021-2022学年湖北省部分重点学校联考高三上学期12月月考）已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示）

①倾斜角为；②不经过坐标原点．

【答案】（答案不唯一）.

【解析】由题意得，斜率，又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零，

所以，直线的一个一般式方程为.故答案为：（答案不唯一）.

8.（2020-2021学年重庆市青木关中学高二上学期第二次月考）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.

(1)求直线的方程；

(2)求边上的高所在直线的方程.

【解析】 (1)∵四边形为平行四边形，∴.∴.

∴直线的方程为，即.

(2)∵，∴.

∴直线的方程为，即.

【过关检测】

1. （2021-2022学年吉林省白山市高二上学期期末）与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得．

故选C

2.（2021-2022学年河北省张家口市宣化第一中学高二上学期期末）如果，，那么直线不经过的象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选A.

3.已知直线，直线，且，则的值为（　　）

A． B． C．-2或-1 D．

【答案】C

【解析】因为，所以且，解得：或，且，综上：的值为或.故选C

4.已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即.故选D.

5.（多选）下列说法正确的是（       ）

A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程

B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为

C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b

D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为

【答案】AD

【解析】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；

在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；

直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；

过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线

当时，直线方程为，变形为，

当时，直线方程为，也适合方程，

所以D正确．故选AD．

6.（多选）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】直线斜率存在，则直线方程可化为，；

，，又，，C正确，D错误；

又，，，A错误，B正确.故选BC.

7.（2021-2022学年浙江省杭州第二中学滨江校区高二上学期期中）过点且与直线垂直的直线的方程是___________.

【答案】

【解析】设与直线垂直的直线为：，代入得：，解得：，所求直线方程为：.故答案为.

8.经过点）且在x轴上的截距为3的直线方程是______．

【答案】

【解析】当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意；当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，所以直线方程为：.

9.（2021-2022学年河北省沧州市高二上学期期末）已知直线过点．

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．

【解析】 (1)因为直线与直线垂直

所以，设直线的方程为，

因为直线过点，

所以，解得，

所以直线的方程为．

(2)当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．

当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，

所以直线的方程是．

综上，所求直线的方程为或．

10．（2021-2022学年湖北省荆州市石首市高二上学期期中）（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；

（2）设直线l的方程为，若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求面积取最小值时，直线l的方程．

【解析】（1）当直线不过原点时，设l的方程为＋＝1，

∵点在直线上，∴＋＝1，

解得，所以直线方程为x＋y－1＝0；

当直线过原点时，直线斜率，∴直线的方程为，即3x＋4y＝0.

综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.

（2）∵，∴M，，

∴＝＝≥2，

当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．

故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.