第15讲 椭圆-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

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第15讲 椭圆
【学习目标】
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质
3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
4.了解椭圆的简单应用

【基础知识】
一、椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

【解读】
1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.
3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
4.用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
5.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
三、焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
四、焦点弦(过焦点的弦)
焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
五、弦长公式
AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
弦长l＝＝|y1－y2|
六、求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程或不等式，求椭圆离心率或取值范围
七、椭圆中的最值问题
1.椭圆中距离的最值问题的解法
①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解 (适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e) 或利用均值不等式；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．
2.椭圆中常见的最值问题
(1)椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
(2)椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
(3)椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
(4)椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
(5)以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
(6)椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
(7)椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
(8)椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。
(9)椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。
八、椭圆中点弦问题
1.根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
2.点差法:在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.
九、椭圆中的一个定值问题
若点P是椭圆C上任意一点，点M，N是椭圆C上关于过原点对称的两点，且不与点P重合，则。
【考点剖析】
考点一：求椭圆的方程
例1．（2021-2022学年广东省广州市育才中学高二下学期期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义可得，所以，由离心率，所以，
由，所以椭圆C的标准方程为.故选B
考点二：椭圆定义的应用
例2．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选D
考点三：求椭圆的离心率
例3．（2021-2022学年广东省佛山市南海区高二上学期第一次大测）己知椭圆的左右焦点分别、，过且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若，则该椭圆C的离心率______．
【答案】
【解析】依题意，令，在中，，则，由椭圆定义知，焦距，所以椭圆C的离心率为．
考点四：求椭圆离心率的取值范围
例4．（2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题得，所以，故选A．
考点五：椭圆中的焦点三角形
例5．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，由椭圆定义知：；
，，即，，
，椭圆的离心率.故选C.
考点六：与椭圆有关的最值
例6．（多选）（2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（       ）
A．的周长为8 B．椭圆的长轴长为2
C．的最大值为5 D．面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】由题可知，在椭圆中，，的周长为,故A项正确；椭圆的长轴长为，故B项错误；
因为，当且仅当时，最小，代入，解得，故，所以的最大值为5，故C项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当时，面积最大，
故,故D项正确.故选ACD.

考点七：直线与椭圆
例7．（2021-2022学年江西省临川一中暨临川一博中学高二下学期第月考）已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求该椭圆的方程；
(2)在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
【解析】 (1)，，\椭圆，将代入可得，故，，椭圆方程为：；
(2)当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，联立方程可得：，
，，为常数，代入韦达定理可知，即为常数，，故，且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
【真题演练】
1. （2021年新高考全国卷Ⅰ）已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为　　
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】,是椭圆的两个焦点,点在上,,
所以,当且仅当时,取等号,
所以的最大值为9．故选．
2.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高二上学期第一次月考）若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选C.
3．(2021年高考全国卷乙)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足
，则的离心率的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选C．
4.（2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二上学期第一次大测）以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，两焦点为，是上的动点，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点．下列结论正确的是（       ）
A．面积的最大值为2
B．若直线方程为，则点坐标为
C．若点坐标为，则直线方程为
D．的最大值为2
【答案】ACD
【解析】设椭圆C方程为，
因为椭圆C过点和，所以，解得
所以，椭圆C方程为，
设，，又，所以当时，，故A正确；若直线方程为，联立方程得，
设，则，，
故点坐标为，故B选项错误；
设，因为点坐标为，故，
故，进而由点差法知 ，即，
所以直线方程为，即，故C选项正确；
因为，，
所以，
因为，所以，故的最大值为2，D项正确．故选ACD
5.（2021-2022学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（       ）
A．若，则 B．面积的最大值为
C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个
【答案】ABC
【解析】在椭圆中，，，，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，
所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，，C对；
对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，
，，，
所以，，，此时，满足条件的点有个，
综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选ABC.
6. （2022年新高考全国卷Ⅰ）已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为．过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴C的方程可化为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,直线的方程：,代入椭圆方程,整理化简得,
∴,
∴ , 得, ∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得周长为.

7.（2022年新高考全国卷II）已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_______．
【答案】
【解析】解法一：设的中点为,因为,所以,
设,,则,,
所以,即
所以,即,设直线,,,
令得,令得,即,,所以,
即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直线,即
解法二： ,设的中点为,则 ,设,,
则,,
所以,即
所以,即,所以,由得,两式联立解得,所以所以直线AB方程为,即

8. （2021年新高考全国卷Ⅱ卷）已知椭圆C的方程为,右焦点为,且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M,N是椭圆C上的两点,直线与曲线相切．证明：M,N,F三点共线的充要条件是．
【解析】（1）由题意,椭圆半焦距且,所以,
又,所以椭圆方程为；
（2）由（1）得,曲线为,
当直线的斜率不存在时,直线,不合题意；
当直线的斜率存在时,设,
必要性：
若M,N,F三点共线,可设直线即,
由直线与曲线相切可得,解得,
联立可得,所以,
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即,
由直线与曲线相切可得,所以,
联立可得,
所以,
所以
,
化简得,所以,
所以或,所以直线或,
所以直线过点,M,N,F三点共线,充分性成立；
所以M,N,F三点共线的充要条件是．
【过关检测】
1. 椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，
当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选C.
2.（2020-2021学年甘肃省平凉市泾川县高二下学期期末）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，故，所以与直线的交点P坐标为，由的面积是面积的2倍知，，．所以．
故选C
3.（2021-2022学年四川省攀枝花市第三高级中学校高二上学期月考）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，所以，

∴的取值范围是.故选D.
4.（多选）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（       ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
【答案】BD
【解析】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，故选BD
5.（多选）（2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期3月月考）已知椭圆：，：，则（       ）
A．，的焦点都在轴上 B．，的焦距相等
C．，没有公共点 D．离心率比离心率小
【答案】BCD
【解析】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．故选BCD.
6.（多选）（2021-2022学年河北省衡水市第二中学高二下学期期中）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（       ）．

A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
【答案】ACD
【解析】A：根据椭圆的定义，得，则A正确；B：设，，，，由余弦定理，得，即，解得，由于P在E上运动，所以的值也随之变化，从而mn不是定值，则B错误；
C：根据切线长定理和椭圆的定义，得，
且，则，
所以为定值，则C正确；
D：连接IA，则，
由，解得；
由，得为定值，则D正确．故选ACD．
7.（2021-2022学年安徽省滁州市部分学校高二下学期4月联考）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】
【解析】由题设，解得，所以长轴长与短轴长的比值为.
8.（2021-2022学年江苏省镇江市丹阳高中高二上学期12月月考）已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且倾斜角为的直线与椭圆形成的弦长为，且椭圆上存在4个点M，N，P，Q构成矩形，则矩形MNPQ面积的最大值为_________.
【答案】4
【解析】由于，所以，，故椭圆方程为：，设过右焦点F的直线为，与椭圆方程联立得：，设直线与椭圆的两交点为，则由，，故，解得：，则，，所以椭圆方程为：，不妨设点M位于第一象限，坐标为，则，矩形MNPQ面积为，当且仅当，即时，等号成立，故矩形MNPQ面积最大值为4
9.（2021－2022学年北京市清华大学附属中学高二下学期统练）已知椭圆：的左，右顶点分别为，，，点是椭圆上一动点（不与点，不重合），的面积的最大值为．过点作的垂线，交直线于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：，，三点在同一条直线上．
【解析】 (1)依题意，即，
设，，则，所以，
又因为且，所以，
所以椭圆方程为；
(2)由（1）可得，
设，，则，所以
所以，令，则，即
所以，，
由，即，所以，
所以，，三点在同一条直线上
10．（2021-2022学年黑龙江省大庆外国语学校高二上学期期末）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
【解析】 (1)由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
(2)由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．