第16讲 双曲线-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

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第16讲 双曲线
【学习目标】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质
2.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．

【基础知识】
一、双曲线定义
1.平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在．
3.双曲线定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,
若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0,b>0)
－＝1(a>0,b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a,y∈R
x∈R,y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0),A2(a,0)
A1(0,－a),A2(0,a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝,e∈(1,＋∞),其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0,c>b>0)
【解读】
1. 求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系．
3.双曲线渐近线的说明
(1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.
(2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确定焦点位置.
(3)求渐近线的方程,常把双曲线的方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程,
(4)如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．
(5)与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4.求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a,c,再计算e= .
(2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成关于的齐次方程,再转化为离心率e的方程求解,另一种方法是利用离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
5.求离心率的范围,一般根据条件建立a,b,c的不等式,再转化为关于e的不等式,通过解不等式求得离心率的范围,求解时应找好题中的等量关系或不等关系,构造出关于a,c的齐次式,进而求解.要注意对题目中隐含条件的挖掘,如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用.
三、直线与双曲线
1.直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
2.当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
特别提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
四、双曲线中的结论
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
4.若在双曲线（a＞0,b＞0）上,则过的双曲线的切线方程是.
5.若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ,则过作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
6.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
7.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即.
8.若在双曲线（a＞0,b＞0）内,则被 所平分的中点弦的方程是.
9.双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
10.过双曲线（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且（常数）.
【考点剖析】
考点一：求双曲线的方程
例1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可设双曲线的标准方程为，因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，又双曲线的离心率为，所以a＝2，则，所以双曲线的标准方程为.故选B．
考点二：双曲线定义的应用
例2．（2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期月考）已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.
【答案】
【解析】如图所示，不妨设点在双曲线的右支上．设，．
则，，，
即，所以，又，所以．
又，
，解得，所以．
．

考点三：求双曲线的离心率
例3．已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，所以，所以，
所以双曲线的离心率为
考点四：求双曲线离心率的取值范围
例4．（2021-2022学年四川省攀枝花市高二上学期期末）已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.   线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当A在圆内时，如图，,所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，，此时，，.

当A在圆外时，如图 ，因为，所以的轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，，此时，，.综上可知，.
故选D

考点五：双曲线的渐近线
例5．（2021-2022学年江西省宜春市铜鼓中学高二下学期月考）已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则C的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦距，解得，
双曲线的是实轴长为，解得，则，
即双曲线C的渐近线方程为，故选.
考点六：与双曲线有关的最值
例6．（2021-2022学年广东省梅州市大埔县虎山中学高二下学期4月月考）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（       ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【解析】由题设知，，，，圆的半径，由点为双曲线右支上的动点知
，∴，
∴.故选A

考点七：直线与双曲线
例7．（2021-2022学年浙江省杭州地区高二下学期期中联考）已知点为双曲线右支上的点，双曲线在点处的切线交渐近线于点，.
(1)证明：为中点；
(2)若双曲线上存在点使的垂心恰为原点，求的取值范围.
【解析】 (1)设，满足，过的切线方程
点满足方程，，
同理可得点满足方程，
；.
所以为中点；
(2)双曲线上存在点，，.
由直线与直线得点坐标为
，
由，得点坐标为，
将点坐标代入双曲线方程得，
与点满足的方程联立得，
解得，即.
【真题演练】
1．(2021年高考全国卷甲)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；
因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即．故选A
2．(2020年高考全国卷Ⅱ)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分
别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 (　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得，故，联立，解得，故
，面积为：，双曲线
其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：，故选B．
3．(2020年高考全国卷Ⅲ)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P
是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a= (　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，，，
，即，解得，故选A．
4.（2020年新高考山东卷）已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B. 若m=n>0,则C是圆,其半径为
C. 若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为
D. 若m=0,n>0,则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A,若,则可化为,因为,所以,
即曲线表示焦点在轴上的椭圆,故A正确；对于B,若,则可化为,
此时曲线表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确；对于C,若,则可化为,此时曲线表示双曲线,由可得,故C正确；对于D,若,则可化为,,此时曲线表示平行于轴的两条直线,故D正确；故选ACD.
5. （2021年新高考Ⅱ卷）已知双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
【解析】因为双曲线的离心率为2,
所以,所以,
所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
6．(2021年高考全国卷甲)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对
称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，则，所以， ，即四边形面积等于．
7. （2022新高考全国卷II）已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】（1）设,∵C的右焦点为,∴,即,
∵C的渐近线方程为,∴,即,
由得,,
∴C的方程为.
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,从而,与已知不符；
总之,直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上,等价于；
两渐近线方程合并为,
联立消去y并化简整理得,
设,线段中点,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
,
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中,
得,
解得,
同理得,
∴
∴,
∴条件②等价于,
综上所述：
条件①在上,等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得,,
∴,∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：,,∴,
∴,∴①成立.
8.（2022新高考全国卷I） 已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若,求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上,
所以,解得,
所以双曲线C的方程为,
设,易知直线l的斜率存在,设,
由得,,
所以,,．
由得,
即,
即,
所以,
化简得,,即,
所以或,
当时,直线过点,与题意不符,舍去,
故．
（2）不妨设直线的倾斜角为,因为,所以,
由（1）知,,
当均在双曲线左支时,,所以,
即,解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去；
当均在双曲线右支时,
因为,所以,即,
即,解得（负值舍去）,
于是,直线,直线,
联立可得,,
因为方程有一个根为,所以,,
同理可得,,．
所以,,
点到直线的距离,
故的面积为．
【过关检测】
1. （2021-2022学年江苏省盐城市高二下学期期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（       ）
A． B．9 C． D．3
【答案】A
【解析】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故，故选A
2.（2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二下学期期中）已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】圆的圆心，双曲线的渐近线为：，
双曲线的一条渐近线过圆的圆心，可得，所以，，则，则的离心率．故选C．
3.（2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二6月月考）已知双曲线C：的上、下焦点分别为F1，F2，点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，如图，设△PQF2的内切圆与直线P F1，PF2相切于点N，E，
则，，即
则
即，∴，即，故选D．

4.（多选）（2021-2022学年河南省豫北名校高二下学期5月调研）已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，若，即，右支上的点均满足，只需的最小值满足即可，当点在上时，最小，此时，故，即,
,或，即或，可得或，
解得或，双曲线的离心率的取值范围为 .故选D
5.（多选）（2021-2022学年吉林省吉林市吉化第一高级中学校高二上学期期末）下列双曲线中以为渐近线的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】A选项：渐近线方程，正确；B选项：渐近线方程，正确；
C选项：渐近线方程，错误；D选项：渐近线方程，正确；故选ABD.
6. （多选）（2020-2021学年山东省日照市高二上学期期末校际联合考试）已知曲线，下列结论正确的是（       ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是双曲线，其焦点在轴上
C．若，则是圆
D．若，，则是两条直线
【答案】AB
【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，
对于B，因为，所以可化为，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，若，不是圆，故C错误；
对于D，若，，则可化为，当时，无意义，当时，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D错误；故选AB.
7.（多选）（2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期5月月考）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（          ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是
【答案】BCD
【解析】依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，，渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是，
故选BCD．
8.（2021-2022学年江西省抚州市南城县第二中学高二下学期月考）设为双曲线C：的左、右焦点，为双曲线虚轴的下端点，为过点的圆与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为_________；
【答案】
【解析】如图，不妨设在第二象限，由知即为圆的直径，连接，易得，
将代入解得，则，又，，即，则，离心率为.

9.（2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期期中）已知，，直线相交于点，且它们的斜率之积是．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点能否作一条直线与轨迹交于两点，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由．
【解析】 (1)设，则，，，
整理可得：，即轨迹的方程为.
(2)设，，则，
两式作差得：，，
若为中点，则，直线，即；
由得：，则，
直线不存在.
10.（2021-2022学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二下学期期中联考）已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.
【解析】 (1)∵虚轴长为4，
∴，即，
∵直线为双曲线C的一条渐近线，
∴，∴，
故双曲线C的标准方程为.
(2)由题意知，，，
由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
．