2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题12 四边形

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2018-2020江苏中考数学试题汇编——四边形
一．选择题（共4小题）
1．（2018•南通）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为　　

A．B． C． D．
2．（2019•苏州）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为　　
A．6 B．8 C．10 D．12

第2题 第3题 第4题
3．（2018•无锡）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则的值　　
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点位置的变化而变化
4．（2020•盐城）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，．则线段的长为　　
A． B． C．3 D．5
二．填空题（共17小题）
5．（2018•南京）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为　　．

第5题 第6题 第7题
6．（2019•南通）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　．
7．（2018•南通）如图，在中，，分别平分和，，．若从三个条件：①；②；③中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是　　（填序号）．
8．（2019•徐州）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为　　．

第8题 第9题 第10题
9．（2018•苏州）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果留根号）．
10．（2020•常州）如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则　　．
11．（2019•常州）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则　　．

第11题 第12题 第13题
12．（2018•常州）如图，在中，，，则　　．
13．（2020•扬州）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为　　．
14．（2019•扬州）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则　　．

第14题 第15题 第16题
15．（2018•扬州）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为　　．
16．（2018•泰州）如图，中，、相交于点，若，，则的周长为　　．
17．（2020•无锡）如图，在菱形中，，点在上，若，则
　　．

第17题 第18题 第19题
18．（2019•无锡）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　　．
19．（2018•无锡）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是　　．
20．（2019•淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则　　．

第20题 第21题
21．（2020•宿迁）如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于所在的直线对称，连接，当点从点运动到点时，线段在平面内扫过的面积为　　．
三．解答题（共29小题）
22．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．



23．（2019•南京）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．

24．（2018•南京）如图，在四边形中，，．是四边形内一点，且．求证：
（1）；
（2）四边形是菱形．

25．（2020•南通）矩形中，，．将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
（1）如图①，若点恰好在边上，连接，求的值；
（2）如图②，若是的中点，的延长线交于点，求的长．






26．（2019•南通）如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．
（1）连接，，求证四边形是菱形；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）连接交于点，当时，求的长．






27．（2018•南通）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．
（3）求线段长的最小值．





28．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为　　；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

29．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．






30．（2018•徐州）如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）当为何值时，的面积最大？







31．（2020•苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．







32．（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点的运动速度为　　，的长度为　　；
（2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，
①求动点运动速度的取值范围；
②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由．



















2018-2020江苏中考数学试题汇编
——四边形
一．选择题（共4小题）
1．（2018•南通）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为　　

A．B． C． D．
【解答】设，则
由折叠，
则
由
，
、关于对称




故选：．
2．（2019•苏州）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为　　
A．6 B．8 C．10 D．12

第2题 第3题 第4题
【解答】四边形是菱形，
，，，
沿点到点的方向平移，得到△，点与点重合，
，，，
，
；
故选：．
3．（2018•无锡）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则的值　　
A．等于 B．等于
C．等于 D．随点位置的变化而变化
【解答】，
，
．
设，，
，
，
，
．
故选：．

4．（2020•盐城）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，．则线段的长为　　
A． B． C．3 D．5
【解答】四边形为菱形，
，，，
在中，，
为中点，
．
故选：．
二．填空题（共17小题）
5．（2018•南京）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为　　．

第5题 第6题 第7题
【解答】连接，延长交于点，作于点，
则，
矩形绕点旋转所得矩形为，
，、，
四边形和四边形都是矩形，，
，
，
，
四边形是矩形，
，即，
，
故答案为：4．
6．（2019•南通）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于　　．
【解答】如图，过点作，交的延长线于点，

，



当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，


故答案为

7．（2018•南通）如图，在中，，分别平分和，，．若从三个条件：①；②；③中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是　　（填序号）．
【解答】当时，四边形是菱形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分和，
，
，
四边形是菱形．
故答案为②
8．（2019•徐州）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为　　．

第8题 第9题 第10题
【解答】、分别为、的中点，
．
四边形是矩形，
．
故答案为16．
9．（2018•苏州）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果留根号）．
【解答】连接、．
四边形，四边形是菱形，，
，，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，，，
，
时，有最小值，最小值为，
故答案为．
10．（2020•常州）如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则　　．
【解答】连接，
在正方形、中，
，
，
，
设，，
，，
，
故答案为：．
11．（2019•常州）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则　　．

第11题 第12题 第13题
【解答】分两种情况：
①为等腰的底边时，作于，如图1所示：
则，
四边形是矩形，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与相等，，
，，
，
，
，
，
；
②为等腰的腰时，作于，如图2所示：
由①得：，，
设，则，
在中，，
解得：，即；
综上所述，的长为6或；
故答案为：6或．

12．（2018•常州）如图，在中，，，则　　．
【解答】四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为．
13．（2020•扬州）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为　　．
【解答】作于点，
在中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，即可取得最小值，
当时，取得最小值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
14．（2019•扬州）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则　　．

第14题 第15题 第16题
【解答】连接，
正方形和正方形中，，，
，，
，
．
、分别是、的中点，
．
故答案为：．
15．（2018•扬州）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为　　．
【解答】由折叠得：，
矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，即，，
过作，
，
，，
则，．
故答案为：，
16．（2018•泰州）如图，中，、相交于点，若，，则的周长为　　．
【解答】四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长，
故答案为14．
17．（2020•无锡）如图，在菱形中，，点在上，若，则
　　．

第17题 第18题 第19题
【解答】四边形是菱形，
平分，，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：115．
18．（2019•无锡）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　　．
【解答】过点作于点，作于点，作于点．
，，
，
易证，
，
即
，
设，则，
易证，
，
，
当时，面积的最大值为8．
故答案为8．
19．（2018•无锡）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是　　．
【解答】如图1，过作交于点，
，，
四边形是平行四边形，，
，
中，，
，
，
当在边上时，与重合，此时的最小值，即的最小值是2；
当在点时，如图2，，，
中，，
，，
则的最大值是：，即的最大值是5，

．
20．（2019•淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则　　．

第20题 第21题
【解答】如图，连接，交于，
由折叠可得，垂直平分，
为的中点，
又为的中点，
是的中位线，
，
，
又中，，
，
故答案为：．
21．（2020•宿迁）如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于所在的直线对称，连接，当点从点运动到点时，线段在平面内扫过的面积为　　．
【解答】当点从点运动到点时，线段的长度不变，
点运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段在平面内扫过的面积，

矩形中，，，
．
，
，
由矩形的性质和轴对称性可知，，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共29小题）
22．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
23．（2019•南京）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．
【解答】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
，
，，
．
24．（2018•南京）如图，在四边形中，，．是四边形内一点，且．求证：
（1）；
（2）四边形是菱形．
【解答】证明：（1）
延长到，
，
，
又，
，
同理，

即，
又，
；
（2）连接，
，，是公共边，
，，，
，
，，
，，
，，
又，
，
，
又，，
，
四边形是菱形．
25．（2020•南通）矩形中，，．将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
（1）如图①，若点恰好在边上，连接，求的值；
（2）如图②，若是的中点，的延长线交于点，求的长．

【解答】（1）如图①中，取的中点，连接．
四边形是矩形，
，
由翻折可知，，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②中，过点作交于，交于．则四边形是矩形，设，则
，，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得（负值已经舍弃），
，
在中，，
，
，
，
，
．
26．（2019•南通）如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．
（1）连接，，求证四边形是菱形；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）连接交于点，当时，求的长．

【解答】证明：（1）如图：连接，，交于点
四边形是矩形，
，，
，，
点与点关于所在的直线对称
，
，，

，且
四边形是平行四边形，且
四边形是菱形；
（2）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，

四边形是菱形
，
，
，



点，点关于对称



（3）如图，延长，延长交于点，过点作于，交于点，过点作于点，
由（2）可知，，
，
四边形是矩形
，

，




，
，
，



，
，



















27．（2018•南通）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，三点共线，连接，求线段的长．
（3）求线段长的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，过作的垂线，交的延长线于，
是的中点，且，
，，三点共线，
，
由勾股定理得：，
，
，
由（1）知：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
或（舍，
，，
由勾股定理得：，
（3）如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
，，
，
，
当最小时，为、、三点共线，
，
，
的最小值是．

28．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为　　；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】（1）点为线段的黄金分割点，，
．
故答案为：．
（2）延长，交于点，

四边形为正方形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
．
，
即，
，
，
是的黄金分割点；
（3）当时，满足题意．
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
当、恰好分别是、的黄金分割点时，
，
，
，，
，
，
．

29．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
由折叠可得，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
由折叠可得，，，
，，
又，
．

30．（2018•徐州）如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）当为何值时，的面积最大？

【解答】（1）证明：
四边形是正方形，
，
，，
，
在和中
，
，
；
（2）设，则，
，
，
当时，的面积最大．





31．（2020•苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）四边形是矩形，
，，
，
，
，
；
（2）是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．

32．（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
（1）直接写出动点的运动速度为　　，的长度为　　；
（2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，
①求动点运动速度的取值范围；
②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）时，函数图象发生改变，
时，运动到点处，
动点的运动速度为：，
时，，
时，运动到点处，
，
故答案为：2，10；
（2）①两动点，在线段上相遇（不包含点，
当在点相遇时，，
当在点相遇时，，
动点运动速度的取值范围为；
②过作于，交于，如图3所示：
则，，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
，在边上可取，
当时，的最大值为．