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2020年江苏中考数学真题分项汇编专题11 圆
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这是一份2020年江苏中考数学真题分项汇编专题11 圆，共36页。试卷主要包含了正十边形的每一个外角的度数为，，，垂足为，点是的中点，如图，点、、在上，，则的度数是等内容，欢迎下载使用。
专题11 圆
一．选择题（共11小题）
1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为
A． B． C． D．
2．（2020•苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
第1题 第2题
3．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A． B． C． D．
4．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
第4题 第5题
5．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
6．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为
A． B． C． D．
第6题 第7题
7．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
8．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A． B． C． D．
第8题 第9题
9．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2020•淮安）如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
第10题 第11题
11．（2020•镇江）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
二．填空题（共14小题）
12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为
．
13．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 ．
第13题 第14题
14．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为 ．
15．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
第15题 第17题
16．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ．
17．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长 ．
18．（2020•连云港）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
19．（2020•连云港）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ．
第19题 第20题
20．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ．
21．（2020•徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
第19题 第20题
22．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
23．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则 ．
第23题 第25题
24．（2020•南通）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为
．
25．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 后能与原来的图案互相重合．
三．解答题（共12小题）
26．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
27．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
28．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
29．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．
30．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
31．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
32．（2020•连云港）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
33．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、．
①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点 （填“”．“”、“”或“”，关于直线的“特征数”为 ；
②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线1相离，点是关于直线1的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．
34．（2020•盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
35．（2020•淮安）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．
37．（2020•镇江）如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
参考答案
一．选择题（共11小题）
1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为
A． B． C． D．
【解答】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：，故选：．
2．（2020•苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
3．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A． B． C． D．
【解答】设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
4．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形易得到，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
图中阴影部分的面积，
故选：．
5．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【解答】小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故选：．
6．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为
A． B． C． D．
【解答】如图，连接．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．
7．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
【解答】三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心，
故选：．
8．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A． B． C． D．
【解答】，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：．
9．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是3，
的最大值为3，
故选：．
10．（2020•淮安）如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】，
圆心角，
，
，
故选：．
11．（2020•镇江）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
【解答】连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共14小题）
12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为 ．
【解答】根据题意可知，圆锥的底面半径，高，
圆锥的母线，
．
故答案为：．
13．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 25 ．
【解答】是的切线，
，
，
，
，
，
而，
，
即的度数为，
故答案为：25．
14．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为 ．
【解答】连接，，过点作于
是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
15．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 或 ．
【解答】直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
16．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 4 ．
【解答】，
，
．
答：这个圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
17．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长 ．
【解答】如图，连接，过点作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
故答案为：．
18．（2020•连云港）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 5 ．
【解答】设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得．
故答案为：5．
19．（2020•连云港）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 48 ．
【解答】设交于、交于，如图所示：
六边形是正六边形，六边形的内角和，
，
五边形是正五边形，五边形的内角和，
，
，
，
，
，
故答案为：48．
20．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 2 ．
【解答】如图，连接，取的中点，连接，过点作于．
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，
故答案为2．
21．（2020•徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
【解答】由已知得，母线长，底面圆的半径为3，
圆锥的侧面积是．
故答案为：．
22．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故答案为：10．
23．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则 130 ．
【解答】如图，取上的一点，连接，，
则四边形是的内接四边形，
．
，
，
，
故答案为：130．
24．（2020•南通）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 12 ．
【解答】如图，作于，连接，
则，
在中，，
所以圆心到的距离为．
故答案为12．
25．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 72 后能与原来的图案互相重合．
【解答】连接，，则这个图形至少旋转才能与原图象重合，
．
故答案为：72．
三．解答题（共12小题）
26．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【解答】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
27．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
【解答】（1）由题意可得，，，
．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过点作，垂足为，则．
平分，
，
，．
设线段的长为，则，，，
，
，
，
．
．
当时，线段的长度最大，最大为．
（3），
是圆的直径．
．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，．
四边形的面积，
，
．
四边形的面积为．
28．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
29．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．
【解答】（1）证明：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（2）连接，，，，
的度数为，
，
，
，
由（1）同理得：，
，
是的中位线，
．
30．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接、，如图，
为的直径，
，
又，
，
又，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
为的切线；
（2）作于，
由（1）可知为直角三角形，且，
，，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
31．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
【解答】（1）如图1中，连接．
由题意，筒车每秒旋转，
在中，．
，
（秒．
答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，
，
过点作于，
在中，，
，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面．
（3）如图3中，
点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上．
32．（2020•连云港）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 12 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【解答】（1）如图1中，
过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．
（2）如图2中，连接，，
在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．
33．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、．
①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点 （填“”．“”、“”或“”，关于直线的“特征数”为 ；
②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线1相离，点是关于直线1的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．
【解答】（1）①由题意，点是关于直线的“远点”，关于直线的特征数，
故答案为：，10．
②如图中，过点作直线于，交于，．
设直线交轴于，，交轴于，
，
，
，
，
，
关于直线的“特征数”．
（2）如图2中，设直线的解析式为．
当时，过点作直线于，交于，．
由题意，，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
的中点，
，
，
把，代入，则有，
解得，
直线的解析式为，
同理可得,当时，可得直线的解析式为．
综上所述，满足条件的直线的解析式为或．
34．（2020•盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
【解答】证明：（1）连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
35．（2020•淮安）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
（2），，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．
【解答】（1）证明：在和中
，
，
；
（2）连接，如图②，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，．
即的半径为．
37．（2020•镇江）如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
【解答】（1）证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，
则，
设，则
，
，
，
，
当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
由勾股定理得：，
解得：（舍负）．
的长为．
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专题11 圆
一．选择题（共11小题）
1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为
A． B． C． D．
2．（2020•苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
第1题 第2题
3．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A． B． C． D．
4．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
第4题 第5题
5．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
6．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为
A． B． C． D．
第6题 第7题
7．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
8．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A． B． C． D．
第8题 第9题
9．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2020•淮安）如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
第10题 第11题
11．（2020•镇江）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
二．填空题（共14小题）
12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为
．
13．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 ．
第13题 第14题
14．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为 ．
15．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
第15题 第17题
16．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ．
17．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长 ．
18．（2020•连云港）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
19．（2020•连云港）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 ．
第19题 第20题
20．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ．
21．（2020•徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
第19题 第20题
22．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
23．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则 ．
第23题 第25题
24．（2020•南通）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为
．
25．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 后能与原来的图案互相重合．
三．解答题（共12小题）
26．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
27．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
28．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
29．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．
30．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
31．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
32．（2020•连云港）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
33．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、．
①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点 （填“”．“”、“”或“”，关于直线的“特征数”为 ；
②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线1相离，点是关于直线1的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．
34．（2020•盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
35．（2020•淮安）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．
37．（2020•镇江）如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
参考答案
一．选择题（共11小题）
1．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为
A． B． C． D．
【解答】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：，故选：．
2．（2020•苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
3．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是
A． B． C． D．
【解答】设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
4．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形易得到，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
图中阴影部分的面积，
故选：．
5．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【解答】小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故选：．
6．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为
A． B． C． D．
【解答】如图，连接．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．
7．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
【解答】三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心，
故选：．
8．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于
A． B． C． D．
【解答】，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：．
9．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是3，
的最大值为3，
故选：．
10．（2020•淮安）如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】，
圆心角，
，
，
故选：．
11．（2020•镇江）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于
A． B． C． D．
【解答】连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故选：．
二．填空题（共14小题）
12．（2020•无锡）已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为 ．
【解答】根据题意可知，圆锥的底面半径，高，
圆锥的母线，
．
故答案为：．
13．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是 25 ．
【解答】是的切线，
，
，
，
，
，
而，
，
即的度数为，
故答案为：25．
14．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为 ．
【解答】连接，，过点作于
是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
15．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 或 ．
【解答】直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．
16．（2020•扬州）圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 4 ．
【解答】，
，
．
答：这个圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
17．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长 ．
【解答】如图，连接，过点作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
故答案为：．
18．（2020•连云港）用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 5 ．
【解答】设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得．
故答案为：5．
19．（2020•连云港）如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线经过、，则直线与的夹角 48 ．
【解答】设交于、交于，如图所示：
六边形是正六边形，六边形的内角和，
，
五边形是正五边形，五边形的内角和，
，
，
，
，
，
故答案为：48．
20．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 2 ．
【解答】如图，连接，取的中点，连接，过点作于．
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
当点与重合时，△的面积最小，最小值，
故答案为2．
21．（2020•徐州）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
【解答】由已知得，母线长，底面圆的半径为3，
圆锥的侧面积是．
故答案为：．
22．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故答案为：10．
23．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则 130 ．
【解答】如图，取上的一点，连接，，
则四边形是的内接四边形，
．
，
，
，
故答案为：130．
24．（2020•南通）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 12 ．
【解答】如图，作于，连接，
则，
在中，，
所以圆心到的距离为．
故答案为12．
25．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 72 后能与原来的图案互相重合．
【解答】连接，，则这个图形至少旋转才能与原图象重合，
．
故答案为：72．
三．解答题（共12小题）
26．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【解答】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
27．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．
【解答】（1）由题意可得，，，
．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过点作，垂足为，则．
平分，
，
，．
设线段的长为，则，，，
，
，
，
．
．
当时，线段的长度最大，最大为．
（3），
是圆的直径．
．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，．
四边形的面积，
，
．
四边形的面积为．
28．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
29．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．
【解答】（1）证明：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（2）连接，，，，
的度数为，
，
，
，
由（1）同理得：，
，
是的中位线，
．
30．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接、，如图，
为的直径，
，
又，
，
又，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
为的切线；
（2）作于，
由（1）可知为直角三角形，且，
，，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
31．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
【解答】（1）如图1中，连接．
由题意，筒车每秒旋转，
在中，．
，
（秒．
答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，
，
过点作于，
在中，，
，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面．
（3）如图3中，
点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上．
32．（2020•连云港）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 12 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【解答】（1）如图1中，
过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．
（2）如图2中，连接，，
在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．
33．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、．
①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点 （填“”．“”、“”或“”，关于直线的“特征数”为 ；
②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线1相离，点是关于直线1的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式．
【解答】（1）①由题意，点是关于直线的“远点”，关于直线的特征数，
故答案为：，10．
②如图中，过点作直线于，交于，．
设直线交轴于，，交轴于，
，
，
，
，
，
关于直线的“特征数”．
（2）如图2中，设直线的解析式为．
当时，过点作直线于，交于，．
由题意，，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
的中点，
，
，
把，代入，则有，
解得，
直线的解析式为，
同理可得,当时，可得直线的解析式为．
综上所述，满足条件的直线的解析式为或．
34．（2020•盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．
【解答】证明：（1）连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
35．（2020•淮安）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
（2），，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．
【解答】（1）证明：在和中
，
，
；
（2）连接，如图②，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，．
即的半径为．
37．（2020•镇江）如图，中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、．点在边上，交于点，为的中点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与相切时，求的长．
【解答】（1）证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，
则，
设，则
，
，
，
，
当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
由勾股定理得：，
解得：（舍负）．
的长为．
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